Номер 518, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 518, страница 135.

518 Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Пусть точки $M$ и $N$ являются серединами противоположных сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Проведем через точки $M$ и $N$ прямую $l$. Требуется доказать, что прямая $l$ является осью симметрии прямоугольника $ABCD$.

По определению, ось симметрии фигуры — это такая прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Таким образом, нам нужно показать, что при отражении относительно прямой $l$ любая точка прямоугольника $ABCD$ переходит в точку, также принадлежащую этому прямоугольнику.

По свойству прямоугольника, его противоположные стороны равны и параллельны, т.е. $AB = CD$ и $AB \parallel CD$. Также все углы прямоугольника прямые, в частности $\angle A = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$.

Поскольку $M$ — середина стороны $AB$, то $AM = MB = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, $N$ — середина $CD$, поэтому $DN = NC = \frac{1}{2}CD$. Так как $AB = CD$, то $AM = DN$.

Рассмотрим четырехугольник $AMND$. Его стороны $AM$ и $DN$ параллельны (так как лежат на параллельных прямых $AB$ и $CD$) и равны. Следовательно, $AMND$ является параллелограммом. Поскольку угол $\angle A$ этого параллелограмма равен $90^\circ$, $AMND$ является прямоугольником. Из этого следует, что прямая $MN$ перпендикулярна сторонам $AB$ и $CD$.

Теперь рассмотрим симметричное отражение вершин прямоугольника $ABCD$ относительно прямой $l=MN$.

Для вершины $A$: отраженная точка должна лежать на прямой, проходящей через $A$ перпендикулярно $l$. Этой прямой является прямая $AB$. Расстояние от $A$ до $l$ равно $AM$. Точка на прямой $AB$, удаленная от $l$ на такое же расстояние с другой стороны, — это точка $B$, так как $M$ является серединой $AB$. Значит, точка $A$ отражается в точку $B$. Аналогично, точка $B$ отражается в точку $A$.

Для вершины $D$: отраженная точка лежит на прямой $CD$, перпендикулярной $l$. Расстояние от $D$ до $l$ равно $DN$. Точка на прямой $CD$ на таком же расстоянии с другой стороны — это точка $C$, так как $N$ — середина $CD$. Значит, точка $D$ отражается в точку $C$. Аналогично, точка $C$ отражается в точку $D$.

Поскольку при отражении относительно прямой $l$ вершины прямоугольника переходят в вершины того же прямоугольника ($A \leftrightarrow B$, $C \leftrightarrow D$), то и стороны прямоугольника переходят в стороны этого же прямоугольника. Отрезок $AD$ переходит в отрезок $BC$ и наоборот, а отрезки $AB$ и $CD$ переходят сами в себя. Таким образом, весь контур прямоугольника, а значит и вся фигура, отображается сама на себя.

Это доказывает, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии. Аналогичное доказательство справедливо и для прямой, соединяющей середины сторон $AD$ и $BC$.

Ответ: Утверждение доказано.