Номер 518, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. 53. Центральная симметрии - номер 518, страница 135.

Условие.

518 Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Пусть точки $M$ и $N$ являются серединами противоположных сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Проведем через точки $M$ и $N$ прямую $l$. Требуется доказать, что прямая $l$ является осью симметрии прямоугольника $ABCD$.

По определению, ось симметрии фигуры — это такая прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Таким образом, нам нужно показать, что при отражении относительно прямой $l$ любая точка прямоугольника $ABCD$ переходит в точку, также принадлежащую этому прямоугольнику.

По свойству прямоугольника, его противоположные стороны равны и параллельны, т.е. $AB = CD$ и $AB \parallel CD$. Также все углы прямоугольника прямые, в частности $\angle A = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$.

Поскольку $M$ — середина стороны $AB$, то $AM = MB = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, $N$ — середина $CD$, поэтому $DN = NC = \frac{1}{2}CD$. Так как $AB = CD$, то $AM = DN$.

Рассмотрим четырехугольник $AMND$. Его стороны $AM$ и $DN$ параллельны (так как лежат на параллельных прямых $AB$ и $CD$) и равны. Следовательно, $AMND$ является параллелограммом. Поскольку угол $\angle A$ этого параллелограмма равен $90^\circ$, $AMND$ является прямоугольником. Из этого следует, что прямая $MN$ перпендикулярна сторонам $AB$ и $CD$.

Теперь рассмотрим симметричное отражение вершин прямоугольника $ABCD$ относительно прямой $l=MN$.

Для вершины $A$: отраженная точка должна лежать на прямой, проходящей через $A$ перпендикулярно $l$. Этой прямой является прямая $AB$. Расстояние от $A$ до $l$ равно $AM$. Точка на прямой $AB$, удаленная от $l$ на такое же расстояние с другой стороны, — это точка $B$, так как $M$ является серединой $AB$. Значит, точка $A$ отражается в точку $B$. Аналогично, точка $B$ отражается в точку $A$.

Для вершины $D$: отраженная точка лежит на прямой $CD$, перпендикулярной $l$. Расстояние от $D$ до $l$ равно $DN$. Точка на прямой $CD$ на таком же расстоянии с другой стороны — это точка $C$, так как $N$ — середина $CD$. Значит, точка $D$ отражается в точку $C$. Аналогично, точка $C$ отражается в точку $D$.

Поскольку при отражении относительно прямой $l$ вершины прямоугольника переходят в вершины того же прямоугольника ($A \leftrightarrow B$, $C \leftrightarrow D$), то и стороны прямоугольника переходят в стороны этого же прямоугольника. Отрезок $AD$ переходит в отрезок $BC$ и наоборот, а отрезки $AB$ и $CD$ переходят сами в себя. Таким образом, весь контур прямоугольника, а значит и вся фигура, отображается сама на себя.

Это доказывает, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии. Аналогичное доказательство справедливо и для прямой, соединяющей середины сторон $AD$ и $BC$.

Ответ: Утверждение доказано.