Номер 516, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 516, страница 135.

516 Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу.

а) по двум диагоналям

Пусть даны два отрезка $d_1$ и $d_2$, которые являются диагоналями будущего ромба. Для построения ромба воспользуемся свойством его диагоналей: они взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Алгоритм построения:
1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный первой диагонали $d_1$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ как из центров проведем две дуги окружности радиусом, большим половины длины $AC$. Через точки пересечения этих дуг проведем прямую. Эта прямая перпендикулярна отрезку $AC$ и пересекает его в середине, точке $O$.
3. На построенном серединном перпендикуляре от точки $O$ в обе стороны отложим отрезки $OB$ и $OD$, равные половине второй диагонали, то есть $d_2/2$.
4. Последовательно соединим отрезками точки $A, B, C$ и $D$.

Доказательство: В полученном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ по построению взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и в точке пересечения $O$ делятся пополам ($AO = OC = d_1/2$ и $BO = OD = d_2/2$). Четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — искомый ромб.

Ответ: Построение выполнено.

б) по стороне и углу

Пусть даны отрезок $s$ (сторона ромба) и угол $\alpha$ (один из углов ромба). Для построения воспользуемся определением ромба — это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Алгоритм построения:
1. Проведем произвольный луч с началом в точке $A$ и отложим на нем отрезок $AB$, равный данной стороне $s$.
2. От луча $AB$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Построим второй луч $AY$ из точки $A$ так, чтобы $\angle YAB = \alpha$.
3. На луче $AY$ отложим отрезок $AD$, равный стороне $s$.
4. Построим две дуги окружностей радиусом $s$: одну с центром в точке $B$, а другую с центром в точке $D$. Точку их пересечения, отличную от $A$, обозначим $C$.
5. Соединим отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Доказательство: В полученном четырехугольнике $ABCD$ все стороны по построению равны данной стороне $s$: $AB = AD = BC = CD = s$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Угол $\angle DAB$ по построению равен данному углу $\alpha$. Следовательно, $ABCD$ — искомый ромб.

Ответ: Построение выполнено.