Номер 514, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 514, страница 135.

514 Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С, катетом АС = 12 см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный и прямоугольный, с прямым углом при вершине $C$. Это означает, что его катеты равны: $AC = BC$. Также дано, что $AC = 12$ см, следовательно, $BC = 12$ см. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны по $45^\circ$, то есть $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В треугольник вписан квадрат $CDEF$ так, что его вершина $C$ совпадает с вершиной прямого угла треугольника, стороны $CD$ и $CF$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно, а вершина $E$ — на гипотенузе $AB$.

Обозначим длину стороны квадрата через $x$. Тогда $CD = CF = DE = EF = x$.

Рассмотрим расположение квадрата. Так как точка $D$ лежит на отрезке $AC$, то длина отрезка $AD$ будет равна разности длин $AC$ и $CD$: $AD = AC - CD = 12 - x$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADE$. Угол $\angle A$ у него общий с треугольником $ABC$, поэтому $\angle DAE = 45^\circ$. По определению квадрата, его сторона $DE$ перпендикулярна стороне $CD$. Поскольку сторона $CD$ лежит на катете $AC$, то сторона $DE$ перпендикулярна катету $AC$. Катет $BC$ также перпендикулярен катету $AC$ (так как $\angle C = 90^\circ$). Две прямые ($DE$ и $BC$), перпендикулярные одной и той же прямой ($AC$), параллельны между собой. Таким образом, $DE \parallel BC$.

Так как прямая $DE$ параллельна прямой $BC$, а гипотенуза $AB$ является секущей, то соответственные углы при этих параллельных прямых и секущей равны: $\angle AED = \angle ABC = 45^\circ$.

В треугольнике $ADE$ два угла равны $45^\circ$ ($\angle DAE$ и $\angle AED$), следовательно, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Значит, $AD = DE$.

Мы уже выразили длины этих сторон через $x$: $AD = 12 - x$ и $DE = x$. Составим и решим уравнение:
$12 - x = x$
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2}$
$x = 6$ см.

Таким образом, мы нашли, что длина стороны квадрата равна 6 см.

Периметр квадрата ($P$) равен учетверенной длине его стороны: $P = 4 \times x = 4 \times 6 = 24$ см.

Ответ: 24 см.