Номер 517, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 517, страница 135.

517 Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.

а) по стороне

Пусть дан отрезок, равный стороне искомого квадрата $a$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.
Алгоритм построения:
1. Начертить произвольную прямую и на ней с помощью циркуля отложить отрезок AB, равный данной стороне $a$.
2. В точке A построить перпендикуляр к прямой AB. Для этого нужно из точки A провести дугу окружности, пересекающую прямую AB в двух точках (для этого может понадобиться продлить прямую за точку A). Из этих двух точек, как из центров, провести две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, соединяющая точку A с точкой пересечения дуг, будет перпендикулярна AB.
3. На построенном перпендикуляре отложить от точки A отрезок AD, равный стороне $a$.
4. Из точки D провести дугу окружности радиусом $a$.
5. Из точки B провести дугу окружности радиусом $a$.
6. Точка пересечения дуг, построенных в шагах 4 и 5, является четвертой вершиной квадрата C.
7. Соединить отрезками точки B с C и D с C.
Четырехугольник ABCD является искомым квадратом, так как по построению все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA = a$) и один из углов прямой ($\angle DAB = 90^\circ$).
Ответ: Построение выполнено.

б) по диагонали

Пусть дан отрезок, равный диагонали искомого квадрата $d$. Построение основано на свойствах диагоналей квадрата: они равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Алгоритм построения:
1. Начертить отрезок AC, равный данной диагонали $d$.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку AC. Для этого из его концов, точек A и C, провести две пересекающиеся дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина длины AC). Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром к AC.
3. Обозначить точку пересечения отрезка AC и серединного перпендикуляра как O. Эта точка — центр квадрата.
4. Измерить циркулем расстояние AO (половину диагонали).
5. Отложить это расстояние от точки O по серединному перпендикуляру в обе стороны, отметив точки B и D. Таким образом, $OB = OD = OA = OC = d/2$.
6. Последовательно соединить отрезками вершины A, B, C и D.
Полученный четырехугольник ABCD — искомый квадрат, так как его диагонали AC и BD по построению равны, взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения O пополам.
Ответ: Построение выполнено.