Номер 510, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 510, страница 135.

510 Докажите признаки ромба. Параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

Докажем два признака, по которым параллелограмм является ромбом. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, для доказательства нам нужно показать, что у данного параллелограмма смежные стороны равны.

а) его диагонали взаимно перпендикулярны

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AC$ и $BD$ — его диагонали, $AC \perp BD$.

Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$.

1. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $AO = OC$.
2. Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников.
3. По условию задачи, диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$.

Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = BC$.

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$). Так как мы доказали, что смежные стороны $AB$ и $BC$ равны, то все стороны параллелограмма равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) диагональ делит его угол пополам

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, диагональ $AC$ — биссектриса угла $\angle A$ (то есть $\angle BAC = \angle DAC$).

Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$.

1. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$.
2. Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Накрест лежащие углы при секущей равны: $\angle BCA = \angle DAC$.
3. По условию задачи, диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам: $\angle BAC = \angle DAC$.

Из пунктов 2 и 3 следует, что $\angle BCA = \angle BAC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как два его угла ($\angle BCA$ и $\angle BAC$) равны, то он является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, $AB = BC$.

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$). Так как мы доказали, что смежные стороны $AB$ и $BC$ равны, то все стороны параллелограмма равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.