Номер 505, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 505, страница 134.

505 Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и AOB равнобедренные.

Для доказательства воспользуемся свойствами диагоналей прямоугольника.

В любом прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть дан прямоугольник ABCD, его диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

1. Свойство равенства диагоналей: $AC = BD$.

2. Свойство деления диагоналей пополам: $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

Из того, что $AC = BD$, следует, что и их половины равны. Таким образом, все четыре отрезка, соединяющие вершины с точкой пересечения диагоналей, равны между собой:

$AO = BO = CO = OD$

Теперь рассмотрим каждый треугольник отдельно.

Треугольник AOD

Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Две его стороны, AO и OD, являются равными отрезками, как было показано выше ($AO = OD$). Согласно определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle AOD$ — равнобедренный.

Ответ: Треугольник AOD является равнобедренным, так как $AO=OD$.

Треугольник AOB

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Две его стороны, AO и OB, также являются равными отрезками ($AO = OB$). Следовательно, по определению, треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным.

Ответ: Треугольник AOB является равнобедренным, так как $AO=OB$.