Номер 502, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. 53. Центральная симметрии - номер 502, страница 134.

Условие.

502 Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

По условию задачи, один из углов параллелограмма является прямым. Допустим, что $\angle A = 90^\circ$.

Для доказательства воспользуемся свойствами углов параллелограмма:

1. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются соседними (прилежащими к стороне $AB$), следовательно, их сумма равна $180^\circ$. $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Подставим известное значение $\angle A$: $90^\circ + \angle B = 180^\circ$. Отсюда находим величину угла $\angle B$: $\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

2. Противоположные углы параллелограмма равны. Угол $\angle C$ противоположен углу $\angle A$, поэтому $\angle C = \angle A = 90^\circ$. Угол $\angle D$ противоположен углу $\angle B$, поэтому $\angle D = \angle B = 90^\circ$.

Таким образом, мы установили, что все углы параллелограмма $ABCD$ равны $90^\circ$: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Поскольку все углы данного параллелограмма являются прямыми, он по определению является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Согласно свойствам параллелограмма, его противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Если один угол равен $90^\circ$, то и противолежащий ему угол тоже равен $90^\circ$. Два других угла, являющиеся соседними с прямым углом, будут равны $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, все четыре угла параллелограмма прямые, а такой параллелограмм по определению является прямоугольником.