Номер 503, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 503, страница 134.

503 Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.

Дано:
Четырёхугольник ABCD, в котором все углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

Доказать:
Четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Доказательство:

Согласно определению, прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. В условии задачи дано, что все углы четырёхугольника прямые. Следовательно, нам нужно доказать, что этот четырёхугольник является параллелограммом.

Четырёхугольник является параллелограммом, если его противолежащие стороны попарно параллельны. Докажем параллельность сторон $AB$ и $DC$, а также $AD$ и $BC$.

Рассмотрим стороны $AD$ и $BC$ как две прямые, пересеченные секущей $AB$. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются внутренними односторонними углами при этих прямых и секущей. Найдем их сумму: $\angle A + \angle B = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. По признаку параллельности прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Таким образом, $AD \parallel BC$.

Аналогично, рассмотрим стороны $AB$ и $DC$ как две прямые, пересеченные секущей $AD$. Углы $\angle A$ и $\angle D$ являются внутренними односторонними углами. Их сумма также равна: $\angle A + \angle D = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, прямые $AB$ и $DC$ параллельны: $AB \parallel DC$.

Поскольку в четырёхугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$), он является параллелограммом по определению.

Так как $ABCD$ — это параллелограмм, у которого все углы равны $90^\circ$, то по определению он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник с четырьмя прямыми углами является параллелограммом, так как его противолежащие стороны параллельны (сумма внутренних односторонних углов при пересечении их секущей равна $180^\circ$). Параллелограмм, у которого все углы прямые, по определению является прямоугольником.