Номер 499, страница 131 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция - номер 499, страница 131.

Условие.

499 Разделите данный отрезок AB на n равных частей.

Решение

Проведём луч АХ, не лежащий на прямой AB, и на нём от точки А отложим последовательно n равных отрезков AA₁, A₁A₂, ..., A_{n - 1}A_n (рис. 198), т. е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок AB (на рисунке 198 n=5). Проведём прямую А_nВ (точка А_n — конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А₁, А₂, ..., A_{n - 1} и параллельные прямой А_nВ. Эти прямые пересекают отрезок AB в точках B₁, В₂, ..., В_{n - 1}, которые по теореме Фалеса (задача 488 на с. 128) делят отрезок AB на n равных частей.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Решение

Для того чтобы разделить данный отрезок $AB$ на $n$ равных частей, необходимо выполнить следующую последовательность построений с помощью циркуля и линейки:

1. Из одного из концов отрезка, например, из точки $A$, провести произвольный луч $AX$, не принадлежащий прямой $AB$.
2. На луче $AX$, начиная от точки $A$, отложить последовательно $n$ равных между собой отрезков. Для этого можно выбрать произвольный раствор циркуля и отложить отрезки $AA_1, A_1A_2, \dots, A_{n-1}A_n$ так, чтобы $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_{n-1}A_n$.
3. Соединить конец последнего отрезка, точку $A_n$, с другим концом исходного отрезка, точкой $B$. Получится отрезок $A_nB$.
4. Через точки $A_1, A_2, \dots, A_{n-1}$ провести прямые, параллельные прямой $A_nB$. Эти прямые пересекут отрезок $AB$ в точках $B_1, B_2, \dots, B_{n-1}$ соответственно.

Данное построение основано на теореме Фалеса. Рассмотрим угол $\angle BAX$. Его стороны пересекаются набором параллельных прямых: $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel \dots \parallel A_nB$. Поскольку на одной стороне угла (луче $AX$) эти прямые отсекают по построению равные отрезки ($AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_{n-1}A_n$), то по теореме Фалеса они отсекут равные отрезки и на другой стороне угла (отрезке $AB$).

Таким образом, мы получаем, что $AB_1 = B_1B_2 = \dots = B_{n-1}B$. Это означает, что отрезок $AB$ разделен точками $B_1, B_2, \dots, B_{n-1}$ на $n$ равных частей.

Ответ: Точки $B_1, B_2, \dots, B_{n-1}$, полученные в результате описанного построения, делят отрезок $AB$ на $n$ равных частей.