Номер 494, страница 129 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 494, страница 129.

494 Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Для того чтобы доказать, что из одинаковых плиток в форме равнобедренной трапеции можно сделать паркет, полностью покрывающий плоскость, достаточно показать, что из этих плиток можно составить фигуру, которой, в свою очередь, можно замостить плоскость. Такой фигурой является параллелограмм, так как известно, что параллелограммами можно замостить любую часть плоскости без зазоров и наложений путем их параллельных переносов.

Рассмотрим способ составления параллелограмма из двух одинаковых равнобедренных трапеций.
1. Возьмём трапецию $ABCD$, где основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а боковые стороны $AB$ и $CD$ равны, так как трапеция равнобедренная.
2. Возьмём вторую, точно такую же трапецию.
3. Совершим поворот второй трапеции на $180^\circ$ вокруг точки $M$ — середины одной из её боковых сторон, например, стороны $CD$.
4. В результате этого преобразования первая трапеция $ABCD$ и вторая, повернутая трапеция, состыкуются по стороне $CD$. Обозначим вершины повернутой трапеции в соответствии с преобразованием: вершина $C$ перешла в $D$, вершина $D$ в $C$, вершина $B$ в новую точку $E$, а вершина $A$ в новую точку $F$. Таким образом, вторая трапеция будет иметь вершины в точках $F, E, D, C$.
5. Две трапеции вместе образуют новый четырёхугольник $ABEF$. Докажем, что $ABEF$ — это параллелограмм.
Сторона $FE$ второй трапеции является образом стороны $AB$ первой трапеции при повороте на $180^\circ$. Поворот является движением, поэтому длина стороны $FE$ равна длине стороны $AB$. Также, при повороте на $180^\circ$ любая прямая переходит в параллельную ей прямую. Следовательно, сторона $FE$ параллельна стороне $AB$.
Мы получили, что в четырёхугольнике $ABEF$ две противоположные стороны, $AB$ и $FE$, равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, четырёхугольник $ABEF$ является параллелограммом.

Поскольку из двух равнобедренных трапеций можно сложить параллелограмм, а параллелограммами можно полностью замостить плоскость, то это означает, что и изначальными плитками в форме равнобедренной трапеции также можно замостить плоскость.

Ответ: Утверждение доказано. Из двух одинаковых плиток в форме равнобедренной трапеции можно составить параллелограмм. Так как параллелограммами можно замостить плоскость, то и данными плитками-трапециями тоже можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.