Номер 494, страница 129 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция - номер 494, страница 129.

Условие.

494 Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для того чтобы доказать, что из одинаковых плиток в форме равнобедренной трапеции можно сделать паркет, полностью покрывающий плоскость, достаточно показать, что из этих плиток можно составить фигуру, которой, в свою очередь, можно замостить плоскость. Такой фигурой является параллелограмм, так как известно, что параллелограммами можно замостить любую часть плоскости без зазоров и наложений путем их параллельных переносов.

Рассмотрим способ составления параллелограмма из двух одинаковых равнобедренных трапеций.
1. Возьмём трапецию $ABCD$, где основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а боковые стороны $AB$ и $CD$ равны, так как трапеция равнобедренная.
2. Возьмём вторую, точно такую же трапецию.
3. Совершим поворот второй трапеции на $180^\circ$ вокруг точки $M$ — середины одной из её боковых сторон, например, стороны $CD$.
4. В результате этого преобразования первая трапеция $ABCD$ и вторая, повернутая трапеция, состыкуются по стороне $CD$. Обозначим вершины повернутой трапеции в соответствии с преобразованием: вершина $C$ перешла в $D$, вершина $D$ в $C$, вершина $B$ в новую точку $E$, а вершина $A$ в новую точку $F$. Таким образом, вторая трапеция будет иметь вершины в точках $F, E, D, C$.
5. Две трапеции вместе образуют новый четырёхугольник $ABEF$. Докажем, что $ABEF$ — это параллелограмм.
Сторона $FE$ второй трапеции является образом стороны $AB$ первой трапеции при повороте на $180^\circ$. Поворот является движением, поэтому длина стороны $FE$ равна длине стороны $AB$. Также, при повороте на $180^\circ$ любая прямая переходит в параллельную ей прямую. Следовательно, сторона $FE$ параллельна стороне $AB$.
Мы получили, что в четырёхугольнике $ABEF$ две противоположные стороны, $AB$ и $FE$, равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, четырёхугольник $ABEF$ является параллелограммом.

Поскольку из двух равнобедренных трапеций можно сложить параллелограмм, а параллелограммами можно полностью замостить плоскость, то это означает, что и изначальными плитками в форме равнобедренной трапеции также можно замостить плоскость.

Ответ: Утверждение доказано. Из двух одинаковых плиток в форме равнобедренной трапеции можно составить параллелограмм. Так как параллелограммами можно замостить плоскость, то и данными плитками-трапециями тоже можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.