Номер 496, страница 130 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция - номер 496, страница 130.

Условие.

496 Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.

Решение

в) Даны три отрезка M₁N₁, M₂N₂, M₃N₃ (рис. 197, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем AB и AD, равны соответственно отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а диагональ BD равна отрезку M₃N₃.

Анализ

Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 197, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃. Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.

Построение

Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны AB, AD и BD равнялись соответственно отрезкам М₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃ (как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно AB (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 197, в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.

Доказательство

По построению AB || CD и ВС || AD, поэтому ABCD — параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по построению равны отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а диагональ BD равна отрезку M₃N₃, т. е. параллелограмм ABCD — искомый.

Исследование

Ясно, что если по трём данным отрезкам М₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃ можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм ABCD построить нельзя. Попробуйте самостоятельно доказать, что если задача имеет решение, то это решение единственно (см. п. 38).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

а) по двум смежным сторонам и углу между ними;

Анализ.
Пусть `a` и `b` — длины данных смежных сторон, а `?` — угол между ними. В искомом параллелограмме `ABCD` пусть $AB = a$, $AD = b$, и $?DAB = ?$. Так как противоположные стороны параллелограмма равны ($CD = AB$, $BC = AD$), то построение полностью определяется заданными элементами. Задача сводится к построению вершин `A`, `B`, `D` по двум сторонам и углу между ними, а затем к нахождению четвертой вершины `C`.

Построение.

1. Строим угол, равный данному углу `?`. Обозначим его вершину буквой `A`.
2. На одной стороне угла от вершины `A` откладываем отрезок `AB`, равный данному отрезку `a`.
3. На другой стороне угла от вершины `A` откладываем отрезок `AD`, равный данному отрезку `b`.
4. Через точку `B` проводим прямую, параллельную отрезку `AD`.
5. Через точку `D` проводим прямую, параллельную отрезку `AB`.
6. Точку пересечения этих двух прямых обозначаем буквой `C`.

Четырехугольник `ABCD` является искомым параллелограммом.

Доказательство.
В построенном четырехугольнике `ABCD` стороны `AB` и `CD` параллельны по построению, и стороны `BC` и `AD` также параллельны по построению. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. По построению $AB = a$, $AD = b$ и $?DAB = ?$. Следовательно, параллелограмм `ABCD` удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование.
Задача имеет единственное решение, если длины сторон `a` и `b` больше нуля, а угол `?` удовлетворяет условию $0° < ? < 180°$.

Ответ: задача решается построением угла и откладыванием на его сторонах длин данных сторон, после чего достраивается до параллелограмма проведением параллельных прямых. Задача имеет единственное решение при $a > 0, b > 0, 0° < ? < 180°$.

---

б) по двум диагоналям и углу между ними;

Анализ.
Пусть $d_1$ и $d_2$ — длины данных диагоналей, а `?` — угол между ними. В искомом параллелограмме `ABCD` диагонали `AC` и `BD` пересекаются в точке `O`. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам, то есть $AO = OC = \frac{1}{2} d_1$ и $BO = OD = \frac{1}{2} d_2$. Задача сводится к построению точки пересечения диагоналей `O`, а затем вершин параллелограмма на лучах, выходящих из `O`.

Построение.

1. Строим две пересекающиеся прямые под углом `?`. Точку их пересечения обозначаем буквой `O`.
2. Находим середины данных отрезков $d_1$ и $d_2$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра), чтобы получить отрезки длиной $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.
3. На одной из построенных прямых откладываем от точки `O` в противоположных направлениях отрезки `OA` и `OC`, равные $\frac{d_1}{2}$.
4. На другой прямой откладываем от точки `O` в противоположных направлениях отрезки `OB` и `OD`, равные $\frac{d_2}{2}$.
5. Последовательно соединяем точки `A`, `B`, `C`, `D`.

Полученный четырехугольник `ABCD` является искомым параллелограммом.

Доказательство.
Рассмотрим четырехугольник `ABCD`. Его диагонали `AC` и `BD` пересекаются в точке `O`. По построению, $AO = OC$ и $BO = OD$. Четырехугольник, у которого диагонали в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом (по признаку параллелограмма). Длины диагоналей равны $AC = AO + OC = d_1$ и $BD = BO + OD = d_2$, а угол между ними равен `?`. Следовательно, `ABCD` — искомый параллелограмм.

Исследование.
Задача имеет единственное решение, если длины диагоналей $d_1$ и $d_2$ больше нуля, а угол `?` удовлетворяет условию $0° < ? < 180°$.

Ответ: задача решается построением двух пересекающихся под заданным углом отрезков, равных данным диагоналям и делящихся точкой пересечения пополам. Их концы являются вершинами искомого параллелограмма. Задача имеет единственное решение при $d_1 > 0, d_2 > 0, 0° < ? < 180°$.

---

в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.

Анализ.
Пусть даны три отрезка, которые мы обозначим `a`, `b` и `d`. Требуется построить параллелограмм `ABCD` так, чтобы его смежные стороны, например `AB` и `AD`, были равны отрезкам `a` и `b` соответственно, а диагональ `BD`, соединяющая их концы, была равна отрезку `d`. Мы видим, что стороны `AB`, `AD` и диагональ `BD` образуют треугольник `ABD`. Таким образом, задача сводится к построению этого треугольника по трем сторонам, а затем к достроению его до параллелограмма.

Построение.

1. Строим треугольник `ABD` по трем сторонам: $AB = a$, $AD = b$ и $BD = d$. (Для этого строим отрезок `AD`, равный `b`. Затем из точки `A` проводим дугу окружности радиусом `a`, а из точки `D` — дугу окружности радиусом `d`. Точка пересечения дуг будет вершиной `B`).
2. Через точку `B` проводим прямую, параллельную стороне `AD`.
3. Через точку `D` проводим прямую, параллельную стороне `AB`.
4. Точку пересечения этих двух прямых обозначаем буквой `C`.

Четырехугольник `ABCD` является искомым параллелограммом.

Доказательство.
В построенном четырехугольнике `ABCD` по построению $AB \parallel DC$ и $AD \parallel BC$. Следовательно, `ABCD` — параллелограмм по определению. Его смежные стороны `AB` и `AD` и диагональ `BD` по построению равны данным отрезкам `a`, `b` и `d`. Таким образом, построенный параллелограмм является искомым.

Исследование.
Задача имеет решение тогда и только тогда, когда по трем данным отрезкам `a`, `b` и `d` можно построить треугольник `ABD`. Это возможно, если выполняется неравенство треугольника: длина каждой стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон. То есть должны выполняться три условия:
$a + b > d$
$a + d > b$
$b + d > a$
Если эти условия выполняются, то решение существует и оно единственно (с точностью до симметрии). Если хотя бы одно из неравенств не выполняется (или обращается в равенство), то построить треугольник `ABD` и, следовательно, параллелограмм `ABCD` невозможно.

Ответ: задача сводится к построению треугольника по трем данным отрезкам (две стороны и диагональ) и последующему достроению его до параллелограмма. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда для длин данных отрезков `a`, `b`, `d` выполняется неравенство треугольника.