Номер 497, страница 131 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция - номер 497, страница 131.

Условие.

497 Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Задача состоит из двух частей: определить количество возможных параллелограммов и описать их построение.

Сколько таких параллелограммов можно построить?

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Они образуют вершины треугольника. Четвертая вершина параллелограмма, назовем ее $D$, должна вместе с точками $A, B, C$ образовывать параллелограмм.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Рассмотрим три возможных случая, основанных на том, какой из отрезков, соединяющих данные точки, является диагональю параллелограмма.

1. Отрезок $AC$ является диагональю. Тогда точки $B$ и $D$ являются двумя другими противолежащими вершинами, а отрезок $BD$ — второй диагональю. Центр параллелограмма будет серединой как $AC$, так и $BD$. Это однозначно определяет положение точки $D$.
2. Отрезок $AB$ является диагональю. Тогда точки $C$ и $D$ — противолежащие вершины, а $CD$ — вторая диагональ. Положение точки $D$ снова определяется однозначно.
3. Отрезок $BC$ является диагональю. Тогда $A$ и $D$ — противолежащие вершины, а $AD$ — вторая диагональ. Это также приводит к единственному возможному положению точки $D$.

Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, все три случая приводят к построению трех различных, невырожденных параллелограммов. Таким образом, существует ровно три таких параллелограмма.

Ответ: Можно построить 3 таких параллелограмма.

Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками.

Рассмотрим построение для каждого из трех возможных случаев с помощью циркуля и линейки.

1. Построение параллелограмма $ABCD_1$, где $B$ — вершина, противолежащая диагонали $AC$.
В этом параллелограмме стороны, выходящие из вершины $B$, — это $BA$ и $BC$. Четвертая вершина $D_1$ должна быть такой, чтобы выполнялись векторные равенства $\vec{AD_1} = \vec{BC}$ и $\vec{CD_1} = \vec{BA}$.

• С помощью циркуля измеряем длину отрезка $BC$.
• Проводим дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине $BC$.
• Измеряем длину отрезка $AB$.
• Проводим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине $AB$.
• Точка пересечения построенных дуг является четвертой вершиной $D_1$.
• Соединяем точки $A, B, C$ и $D_1$, получая параллелограмм $ABCD_1$.

2. Построение параллелограмма $ACBD_2$, где $C$ — вершина, противолежащая диагонали $AB$.
В этом случае стороны, выходящие из вершины $C$, — это $CA$ и $CB$. Четвертая вершина $D_2$ такова, что $\vec{AD_2} = \vec{CB}$.

• Измеряем длину отрезка $AC$.
• Проводим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине $AC$.
• Измеряем длину отрезка $BC$.
• Проводим дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине $BC$.
• Точка пересечения этих дуг дает нам четвертую вершину $D_2$.
• Соединяем точки $A, C, B$ и $D_2$, получая параллелограмм $ACBD_2$.

3. Построение параллелограмма $ABD_3C$, где $A$ — вершина, противолежащая диагонали $BC$.
Здесь стороны, выходящие из вершины $A$, — это $AB$ и $AC$. Четвертая вершина $D_3$ удовлетворяет условию $\vec{BD_3} = \vec{AC}$.

• Измеряем длину отрезка $AB$.
• Проводим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине $AB$.
• Измеряем длину отрезка $AC$.
• Проводим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине $AC$.
• Точка пересечения дуг является четвертой вершиной $D_3$.
• Соединяем точки $A, B, D_3$ и $C$, получая параллелограмм $ABD_3C$.

Ответ: Выше описаны построения для всех трех возможных параллелограммов.