Страница 131 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

497 Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

Задача состоит из двух частей: определить количество возможных параллелограммов и описать их построение.

Сколько таких параллелограммов можно построить?

Пусть даны три точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Они образуют вершины треугольника. Четвертая вершина параллелограмма, назовем ее $D$, должна вместе с точками $A, B, C$ образовывать параллелограмм.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Рассмотрим три возможных случая, основанных на том, какой из отрезков, соединяющих данные точки, является диагональю параллелограмма.

1. Отрезок $AC$ является диагональю. Тогда точки $B$ и $D$ являются двумя другими противолежащими вершинами, а отрезок $BD$ — второй диагональю. Центр параллелограмма будет серединой как $AC$, так и $BD$. Это однозначно определяет положение точки $D$.
2. Отрезок $AB$ является диагональю. Тогда точки $C$ и $D$ — противолежащие вершины, а $CD$ — вторая диагональ. Положение точки $D$ снова определяется однозначно.
3. Отрезок $BC$ является диагональю. Тогда $A$ и $D$ — противолежащие вершины, а $AD$ — вторая диагональ. Это также приводит к единственному возможному положению точки $D$.

Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой, все три случая приводят к построению трех различных, невырожденных параллелограммов. Таким образом, существует ровно три таких параллелограмма.

Ответ: Можно построить 3 таких параллелограмма.

Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками.

Рассмотрим построение для каждого из трех возможных случаев с помощью циркуля и линейки.

1. Построение параллелограмма $ABCD_1$, где $B$ — вершина, противолежащая диагонали $AC$.
В этом параллелограмме стороны, выходящие из вершины $B$, — это $BA$ и $BC$. Четвертая вершина $D_1$ должна быть такой, чтобы выполнялись векторные равенства $\vec{AD_1} = \vec{BC}$ и $\vec{CD_1} = \vec{BA}$.

• С помощью циркуля измеряем длину отрезка $BC$.
• Проводим дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине $BC$.
• Измеряем длину отрезка $AB$.
• Проводим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине $AB$.
• Точка пересечения построенных дуг является четвертой вершиной $D_1$.
• Соединяем точки $A, B, C$ и $D_1$, получая параллелограмм $ABCD_1$.

2. Построение параллелограмма $ACBD_2$, где $C$ — вершина, противолежащая диагонали $AB$.
В этом случае стороны, выходящие из вершины $C$, — это $CA$ и $CB$. Четвертая вершина $D_2$ такова, что $\vec{AD_2} = \vec{CB}$.

• Измеряем длину отрезка $AC$.
• Проводим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине $AC$.
• Измеряем длину отрезка $BC$.
• Проводим дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине $BC$.
• Точка пересечения этих дуг дает нам четвертую вершину $D_2$.
• Соединяем точки $A, C, B$ и $D_2$, получая параллелограмм $ACBD_2$.

3. Построение параллелограмма $ABD_3C$, где $A$ — вершина, противолежащая диагонали $BC$.
Здесь стороны, выходящие из вершины $A$, — это $AB$ и $AC$. Четвертая вершина $D_3$ удовлетворяет условию $\vec{BD_3} = \vec{AC}$.

• Измеряем длину отрезка $AB$.
• Проводим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине $AB$.
• Измеряем длину отрезка $AC$.
• Проводим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине $AC$.
• Точка пересечения дуг является четвертой вершиной $D_3$.
• Соединяем точки $A, B, D_3$ и $C$, получая параллелограмм $ABD_3C$.

Ответ: Выше описаны построения для всех трех возможных параллелограммов.

498 Даны острый угол hk и два отрезка P₁Q₁ и P₂Q₂. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми AB и DC равнялось P₁Q₁, AB = P₂Q₂ и ∠A = ∠hk.

Задача состоит в построении параллелограмма по стороне, углу и высоте, проведенной к этой стороне. Ниже представлен подробный разбор, алгоритм построения и его доказательство.

Пусть искомый параллелограмм $ABCD$ уже построен. Проанализируем его свойства, вытекающие из условий задачи:

• Угол: Угол при вершине $A$ равен заданному острому углу $hk$, то есть $\angle A = \angle hk$.
• Сторона: Длина стороны $AB$ равна длине отрезка $P_2Q_2$, то есть $AB = P_2Q_2$.
• Высота: Расстояние между параллельными прямыми, содержащими стороны $AB$ и $DC$, равно длине отрезка $P_1Q_1$. Это расстояние является высотой параллелограмма, проведенной, например, из вершины $D$ к стороне $AB$. Обозначим эту высоту $h_{AB}$. Таким образом, $h_{AB} = P_1Q_1$.

Из анализа следует, что вершины $A$ и $B$ должны лежать на некоторой прямой $m$, а вершины $D$ и $C$ — на прямой $n$, параллельной $m$ и находящейся на расстоянии $P_1Q_1$ от нее. Вершина $D$ определяется пересечением прямой $n$ и луча, выходящего из $A$ под углом $\angle hk$ к прямой $m$. Зная положения трех вершин $A, B, D$, можно однозначно определить положение четвертой вершины $C$. Это позволяет сформулировать следующий алгоритм построения.

Для построения искомого параллелограмма с помощью циркуля и линейки выполним следующие шаги:

1. Проведем произвольную прямую $m$. На этой прямой будут располагаться вершины $A$ и $B$ параллелограмма.
2. Построим прямую $n$, параллельную прямой $m$ и отстоящую от нее на расстояние, равное длине отрезка $P_1Q_1$. Для этого:
   1. Выберем на прямой $m$ произвольную точку $K$.
   2. Проведем через точку $K$ прямую $p$, перпендикулярную прямой $m$.
   3. С помощью циркуля отмерим длину отрезка $P_1Q_1$ и отложим на прямой $p$ от точки $K$ отрезок $KL$ этой длины.
   4. Через точку $L$ проведем прямую $n$, перпендикулярную прямой $p$. По свойству перпендикуляров к одной прямой, $n$ будет параллельна $m$. На этой прямой будут располагаться вершины $D$ и $C$.
3. На прямой $m$ выберем произвольную точку и обозначим ее $A$. Это будет первая вершина искомого параллелограмма.
4. В точке $A$ построим угол, равный данному углу $\angle hk$. Одна сторона угла должна лежать на прямой $m$. Так как угол $\angle hk$ острый, другая сторона угла обязательно пересечет параллельную прямую $n$. Точку пересечения обозначим $D$. Это будет вторая вершина параллелограмма.
5. На луче, который является стороной построенного угла и лежит на прямой $m$, отложим от точки $A$ отрезок $AB$, длина которого равна длине отрезка $P_2Q_2$. Точка $B$ — третья вершина параллелограмма.
6. Теперь найдем четвертую вершину $C$. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому вектор $\vec{DC}$ должен быть равен вектору $\vec{AB}$. Это значит, что на прямой $n$ от точки $D$ нужно отложить отрезок $DC$, равный по длине отрезку $AB$ ($P_2Q_2$) и направленный в ту же сторону.
7. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Убедимся, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям, перечисленным в задаче.

• По построению, сторона $AB$ лежит на прямой $m$, а сторона $DC$ — на прямой $n$. Прямые $m$ и $n$ параллельны, и расстояние между ними равно $P_1Q_1$. Следовательно, расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $DC$ равно $P_1Q_1$.
• Длина стороны $AB$ по построению равна длине отрезка $AB = P_2Q_2$.
• Угол $\angle DAB$ (угол при вершине $A$) по построению равен заданному углу $\angle A = \angle hk$.
• По построению отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых $m$ и $n$ и имеют одинаковую длину $P_2Q_2$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Построенный согласно приведенному алгоритму параллелограмм $ABCD$ является искомым решением задачи.

499 Разделите данный отрезок AB на n равных частей.

Решение

Проведём луч АХ, не лежащий на прямой AB, и на нём от точки А отложим последовательно n равных отрезков AA₁, A₁A₂, ..., A_{n - 1}A_n (рис. 198), т. е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок AB (на рисунке 198 n=5). Проведём прямую А_nВ (точка А_n — конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А₁, А₂, ..., A_{n - 1} и параллельные прямой А_nВ. Эти прямые пересекают отрезок AB в точках B₁, В₂, ..., В_{n - 1}, которые по теореме Фалеса (задача 488 на с. 128) делят отрезок AB на n равных частей.

Для того чтобы разделить данный отрезок $AB$ на $n$ равных частей, необходимо выполнить следующую последовательность построений с помощью циркуля и линейки:

1. Из одного из концов отрезка, например, из точки $A$, провести произвольный луч $AX$, не принадлежащий прямой $AB$.
2. На луче $AX$, начиная от точки $A$, отложить последовательно $n$ равных между собой отрезков. Для этого можно выбрать произвольный раствор циркуля и отложить отрезки $AA_1, A_1A_2, \dots, A_{n-1}A_n$ так, чтобы $AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_{n-1}A_n$.
3. Соединить конец последнего отрезка, точку $A_n$, с другим концом исходного отрезка, точкой $B$. Получится отрезок $A_nB$.
4. Через точки $A_1, A_2, \dots, A_{n-1}$ провести прямые, параллельные прямой $A_nB$. Эти прямые пересекут отрезок $AB$ в точках $B_1, B_2, \dots, B_{n-1}$ соответственно.

Данное построение основано на теореме Фалеса. Рассмотрим угол $\angle BAX$. Его стороны пересекаются набором параллельных прямых: $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel \dots \parallel A_nB$. Поскольку на одной стороне угла (луче $AX$) эти прямые отсекают по построению равные отрезки ($AA_1 = A_1A_2 = \dots = A_{n-1}A_n$), то по теореме Фалеса они отсекут равные отрезки и на другой стороне угла (отрезке $AB$).

Таким образом, мы получаем, что $AB_1 = B_1B_2 = \dots = B_{n-1}B$. Это означает, что отрезок $AB$ разделен точками $B_1, B_2, \dots, B_{n-1}$ на $n$ равных частей.

Ответ: Точки $B_1, B_2, \dots, B_{n-1}$, полученные в результате описанного построения, делят отрезок $AB$ на $n$ равных частей.

500 Постройте равнобедренную трапецию ABCD:

а) по основанию AD, углу А и боковой стороне AB;

б) по основанию ВС, боковой стороне AB и диагонали BD.

а) по основанию AD, углу A и боковой стороне AB;

Для построения равнобедренной трапеции ABCD по заданным элементам выполним следующие действия:

Анализ и план построения:

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Если дано основание AD и угол A, то нам известен и угол D, так как $\angle D = \angle A$. Таким образом, мы можем построить две стороны трапеции (AB и AD) и угол между ними. Затем, зная угол D, мы можем построить вторую боковую сторону CD, а через вершину B провести прямую, параллельную основанию AD, для нахождения вершины C.

Шаги построения:

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок AD, равный по длине данному основанию.
2. От луча AD в точке A отложим угол, равный данному углу A.
3. На построенной стороне угла отложим отрезок AB, равный по длине данной боковой стороне.
4. Поскольку трапеция равнобедренная, углы при основании AD равны. Поэтому от луча DA в точке D построим угол, равный углу A, в той же полуплоскости относительно прямой AD, где лежит точка B.
5. Через точку B проведем прямую, параллельную прямой AD.
6. Точка пересечения этой прямой и стороны угла D (построенного в шаге 4) и будет искомой вершиной C.
7. Соединим точки A, B, C и D. Полученный четырехугольник ABCD является искомой трапецией.

Доказательство:

В построенном четырехугольнике ABCD сторона AD, боковая сторона AB и угол A равны заданным по построению. Прямая BC параллельна AD по построению (шаг 5), следовательно, ABCD — трапеция. Углы при основании равны, так как $\angle D$ был построен равным $\angle A$ (шаг 4). Трапеция с равными углами при основании является равнобедренной. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет однозначно построить искомую равнобедренную трапецию.

б) по основанию BC, боковой стороне AB и диагонали BD.

Для построения равнобедренной трапеции ABCD по заданным элементам выполним следующие действия:

Анализ и план построения:

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, то есть $AB = CD$. Следовательно, если нам даны основание BC, боковая сторона AB и диагональ BD, то мы знаем длины всех трех сторон треугольника BCD (BC, BD и CD = AB). Мы можем построить этот треугольник. После этого, зная, что второе основание AD параллельно BC, мы можем найти положение четвертой вершины A.

Шаги построения:

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок BC, равный по длине данному основанию.
2. Построим треугольник BCD. Из центра в точке B проведем дугу окружности с радиусом, равным длине данной диагонали BD.
3. Из центра в точке C проведем дугу окружности с радиусом, равным длине данной боковой стороны AB (поскольку в равнобедренной трапеции $CD = AB$).
4. Точка пересечения этих двух дуг является вершиной D. (Построение возможно, если длины BC, AB, BD удовлетворяют неравенству треугольника).
5. Основания трапеции параллельны, поэтому проведем через точку D прямую, параллельную прямой BC. На этой прямой будет лежать вершина A.
6. Из центра в точке B проведем дугу окружности с радиусом, равным длине данной боковой стороны AB.
7. Точка пересечения прямой из шага 5 и дуги из шага 6 является искомой вершиной A. (Из двух возможных точек пересечения выбираем ту, которая образует выпуклый четырехугольник ABCD).
8. Соединим точки A, B, C и D. Полученный четырехугольник ABCD является искомой трапецией.

Доказательство:

В построенном четырехугольнике ABCD сторона BC, боковая сторона AB и диагональ BD равны заданным по построению. Прямая AD параллельна BC по построению (шаг 5), следовательно, ABCD — трапеция. Боковая сторона CD была построена равной AB (шаг 3). Так как боковые стороны трапеции равны, она является равнобедренной. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет однозначно построить искомую равнобедренную трапецию.

501 Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям и боковой стороне AD, перпендикулярной к основаниям.

Для построения прямоугольной трапеции ABCD по заданным основаниям и боковой стороне AD, которая перпендикулярна основаниям, необходимо выполнить следующие шаги. Пусть нам даны длины оснований, которые мы обозначим как $a$ и $b$, и длина перпендикулярной боковой стороны, которую мы обозначим как $h$. В трапеции ABCD, согласно условию, сторона AD будет перпендикулярна основаниям. Это означает, что основаниями являются стороны AB и DC, а углы $\angle A$ и $\angle D$ — прямые.

1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку D.
2. С помощью циркуля и линейки построим прямую $m$, проходящую через точку D и перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $m$ отложим отрезок DA, длина которого равна данной высоте $h$.
4. Через точку A проведем прямую $k$, параллельную прямой $l$. Для этого построим в точке A прямую, перпендикулярную отрезку AD. Так как прямые $l$ и $k$ обе перпендикулярны прямой AD, они будут параллельны.
5. На прямой $l$ от точки D отложим отрезок DC, равный длине одного из оснований, $a$.
6. На прямой $k$ от точки A отложим отрезок AB, равный длине другого основания, $b$. Точки B и C должны лежать по одну сторону от прямой AD.
7. Соединим точки B и C отрезком.

В результате мы получили четырехугольник ABCD. По построению, прямая $k$ (содержащая сторону AB) параллельна прямой $l$ (содержащей сторону DC), следовательно, ABCD — трапеция с основаниями AB и DC. Длины оснований AB и DC равны заданным длинам $b$ и $a$ соответственно. Прямая AD перпендикулярна прямым $l$ и $k$, поэтому углы $\angle DAB$ и $\angle ADC$ являются прямыми. Следовательно, построенная трапеция — прямоугольная, и длина ее боковой стороны AD, перпендикулярной основаниям, равна заданной длине $h$. Таким образом, построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомая прямоугольная трапеция строится согласно приведенному выше алгоритму из 7 шагов, который основан на построении параллельных и перпендикулярных прямых и откладывании отрезков заданной длины.