Страница 130 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

496 Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.

Решение

в) Даны три отрезка M₁N₁, M₂N₂, M₃N₃ (рис. 197, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем AB и AD, равны соответственно отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а диагональ BD равна отрезку M₃N₃.

Анализ

Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 197, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃. Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.

Построение

Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны AB, AD и BD равнялись соответственно отрезкам М₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃ (как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно AB (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 197, в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.

Доказательство

По построению AB || CD и ВС || AD, поэтому ABCD — параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по построению равны отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а диагональ BD равна отрезку M₃N₃, т. е. параллелограмм ABCD — искомый.

Исследование

Ясно, что если по трём данным отрезкам М₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃ можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм ABCD построить нельзя. Попробуйте самостоятельно доказать, что если задача имеет решение, то это решение единственно (см. п. 38).

а) по двум смежным сторонам и углу между ними;

Анализ.
Пусть `a` и `b` — длины данных смежных сторон, а `?` — угол между ними. В искомом параллелограмме `ABCD` пусть $AB = a$, $AD = b$, и $?DAB = ?$. Так как противоположные стороны параллелограмма равны ($CD = AB$, $BC = AD$), то построение полностью определяется заданными элементами. Задача сводится к построению вершин `A`, `B`, `D` по двум сторонам и углу между ними, а затем к нахождению четвертой вершины `C`.

Построение.

1. Строим угол, равный данному углу `?`. Обозначим его вершину буквой `A`.
2. На одной стороне угла от вершины `A` откладываем отрезок `AB`, равный данному отрезку `a`.
3. На другой стороне угла от вершины `A` откладываем отрезок `AD`, равный данному отрезку `b`.
4. Через точку `B` проводим прямую, параллельную отрезку `AD`.
5. Через точку `D` проводим прямую, параллельную отрезку `AB`.
6. Точку пересечения этих двух прямых обозначаем буквой `C`.

Четырехугольник `ABCD` является искомым параллелограммом.

Доказательство.
В построенном четырехугольнике `ABCD` стороны `AB` и `CD` параллельны по построению, и стороны `BC` и `AD` также параллельны по построению. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. По построению $AB = a$, $AD = b$ и $?DAB = ?$. Следовательно, параллелограмм `ABCD` удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование.
Задача имеет единственное решение, если длины сторон `a` и `b` больше нуля, а угол `?` удовлетворяет условию $0° < ? < 180°$.

Ответ: задача решается построением угла и откладыванием на его сторонах длин данных сторон, после чего достраивается до параллелограмма проведением параллельных прямых. Задача имеет единственное решение при $a > 0, b > 0, 0° < ? < 180°$.

б) по двум диагоналям и углу между ними;

Анализ.
Пусть $d_1$ и $d_2$ — длины данных диагоналей, а `?` — угол между ними. В искомом параллелограмме `ABCD` диагонали `AC` и `BD` пересекаются в точке `O`. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам, то есть $AO = OC = \frac{1}{2} d_1$ и $BO = OD = \frac{1}{2} d_2$. Задача сводится к построению точки пересечения диагоналей `O`, а затем вершин параллелограмма на лучах, выходящих из `O`.

Построение.

1. Строим две пересекающиеся прямые под углом `?`. Точку их пересечения обозначаем буквой `O`.
2. Находим середины данных отрезков $d_1$ и $d_2$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра), чтобы получить отрезки длиной $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.
3. На одной из построенных прямых откладываем от точки `O` в противоположных направлениях отрезки `OA` и `OC`, равные $\frac{d_1}{2}$.
4. На другой прямой откладываем от точки `O` в противоположных направлениях отрезки `OB` и `OD`, равные $\frac{d_2}{2}$.
5. Последовательно соединяем точки `A`, `B`, `C`, `D`.

Полученный четырехугольник `ABCD` является искомым параллелограммом.

Доказательство.
Рассмотрим четырехугольник `ABCD`. Его диагонали `AC` и `BD` пересекаются в точке `O`. По построению, $AO = OC$ и $BO = OD$. Четырехугольник, у которого диагонали в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом (по признаку параллелограмма). Длины диагоналей равны $AC = AO + OC = d_1$ и $BD = BO + OD = d_2$, а угол между ними равен `?`. Следовательно, `ABCD` — искомый параллелограмм.

Исследование.
Задача имеет единственное решение, если длины диагоналей $d_1$ и $d_2$ больше нуля, а угол `?` удовлетворяет условию $0° < ? < 180°$.

Ответ: задача решается построением двух пересекающихся под заданным углом отрезков, равных данным диагоналям и делящихся точкой пересечения пополам. Их концы являются вершинами искомого параллелограмма. Задача имеет единственное решение при $d_1 > 0, d_2 > 0, 0° < ? < 180°$.

в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.

Анализ.
Пусть даны три отрезка, которые мы обозначим `a`, `b` и `d`. Требуется построить параллелограмм `ABCD` так, чтобы его смежные стороны, например `AB` и `AD`, были равны отрезкам `a` и `b` соответственно, а диагональ `BD`, соединяющая их концы, была равна отрезку `d`. Мы видим, что стороны `AB`, `AD` и диагональ `BD` образуют треугольник `ABD`. Таким образом, задача сводится к построению этого треугольника по трем сторонам, а затем к достроению его до параллелограмма.

Построение.

1. Строим треугольник `ABD` по трем сторонам: $AB = a$, $AD = b$ и $BD = d$. (Для этого строим отрезок `AD`, равный `b`. Затем из точки `A` проводим дугу окружности радиусом `a`, а из точки `D` — дугу окружности радиусом `d`. Точка пересечения дуг будет вершиной `B`).
2. Через точку `B` проводим прямую, параллельную стороне `AD`.
3. Через точку `D` проводим прямую, параллельную стороне `AB`.
4. Точку пересечения этих двух прямых обозначаем буквой `C`.

Четырехугольник `ABCD` является искомым параллелограммом.

Доказательство.
В построенном четырехугольнике `ABCD` по построению $AB \parallel DC$ и $AD \parallel BC$. Следовательно, `ABCD` — параллелограмм по определению. Его смежные стороны `AB` и `AD` и диагональ `BD` по построению равны данным отрезкам `a`, `b` и `d`. Таким образом, построенный параллелограмм является искомым.

Исследование.
Задача имеет решение тогда и только тогда, когда по трем данным отрезкам `a`, `b` и `d` можно построить треугольник `ABD`. Это возможно, если выполняется неравенство треугольника: длина каждой стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон. То есть должны выполняться три условия:
$a + b > d$
$a + d > b$
$b + d > a$
Если эти условия выполняются, то решение существует и оно единственно (с точностью до симметрии). Если хотя бы одно из неравенств не выполняется (или обращается в равенство), то построить треугольник `ABD` и, следовательно, параллелограмм `ABCD` невозможно.

Ответ: задача сводится к построению треугольника по трем данным отрезкам (две стороны и диагональ) и последующему достроению его до параллелограмма. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда для длин данных отрезков `a`, `b`, `d` выполняется неравенство треугольника.