Страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

507 В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

Пусть дан ромб, все стороны которого равны $a$. По условию задачи, одна из его диагоналей также равна $a$. Обозначим ромб как $ABCD$, а его сторону $AB=BC=CD=DA=a$. Пусть диагональ $BD$ равна стороне, то есть $BD=a$.

а) углы ромба

Рассмотрим треугольник $ABD$. У него все три стороны равны $a$ ($AB=a$, $AD=a$, $BD=a$). Следовательно, треугольник $ABD$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, угол ромба $\angle A = 60^\circ$.
В ромбе противоположные углы равны, значит, $\angle C = \angle A = 60^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$. Поэтому $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Соответственно, противоположный ему угол $\angle D = \angle B = 120^\circ$.
Таким образом, углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$ и $120^\circ$.
Ответ: Два угла по $60^\circ$ и два угла по $120^\circ$.

б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то есть делят углы пополам.
Диагональ $BD$ (которая по условию равна стороне) делит пополам углы $\angle B$ и $\angle D$, которые равны $120^\circ$.
Следовательно, углы, которые диагональ $BD$ образует со сторонами, равны:
$\angle ABD = \angle CBD = \frac{\angle B}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
$\angle ADB = \angle CDB = \frac{\angle D}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
Диагональ $AC$ делит пополам углы $\angle A$ и $\angle C$, которые равны $60^\circ$.
Следовательно, углы, которые диагональ $AC$ образует со сторонами, равны:
$\angle BAC = \angle DAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
$\angle BCA = \angle DCA = \frac{\angle C}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
Ответ: Диагональ, равная стороне, образует с его сторонами углы по $60^\circ$. Другая диагональ образует со сторонами углы по $30^\circ$.

508 Найдите периметр ромба ABCD, в котором ∠B = 60°, АС = 10,5 см.

По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны. Обозначим длину стороны ромба ABCD как a. Таким образом, AB = BC = CD = DA = a.

Периметр ромба P вычисляется по формуле $P = 4a$. Для нахождения периметра необходимо определить длину стороны ромба.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Он образован двумя смежными сторонами ромба AB, BC и диагональю AC.

Так как стороны ромба равны, то в треугольнике $\triangle ABC$ стороны AB и BC равны: $AB = BC = a$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным.

По условию задачи, угол между этими сторонами $\angle B = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle ABC$ имеем:

$\angle BAC + \angle BCA + \angle B = 180^\circ$

Подставим известные значения и учтем, что $\angle BAC = \angle BCA$:

$2 \cdot \angle BAC + 60^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 60^\circ$

$2 \cdot \angle BAC = 120^\circ$

$\angle BAC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Таким образом, все углы треугольника $\triangle ABC$ равны $60^\circ$ ($\angle B = \angle BAC = \angle BCA = 60^\circ$). Это значит, что треугольник $\triangle ABC$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Следовательно, $AB = BC = AC$.

Из условия задачи мы знаем, что длина диагонали $AC = 10,5$ см. Отсюда следует, что длина стороны ромба a также равна 10,5 см:

$a = AB = BC = AC = 10,5$ см.

Теперь можем вычислить периметр ромба:

$P = 4a = 4 \cdot 10,5 = 42$ см.

Ответ: 42 см.

509 Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°.

Пусть нам дан ромб. Обозначим его углы как $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$. По условию задачи, один из углов ромба равен $45^\circ$. Пусть $\angle A = 45^\circ$.

Ромб является разновидностью параллелограмма, поэтому у него, как и у любого параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Найдем величину угла, соседнего с углом $\angle A$, например, угла $\angle B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Также в ромбе противолежащие углы равны. Следовательно:
$\angle C = \angle A = 45^\circ$
$\angle D = \angle B = 135^\circ$

Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали являются биссектрисами его углов. Это означает, что каждая диагональ делит угол, из которого она выходит, на два равных угла.

Рассмотрим диагональ, которая соединяет вершины с углами по $45^\circ$ (диагональ AC). Она делит эти углы пополам. Таким образом, углы между этой диагональю и сторонами ромба будут равны:
$\frac{45^\circ}{2} = 22,5^\circ$

Теперь рассмотрим вторую диагональ, которая соединяет вершины с углами по $135^\circ$ (диагональ BD). Она также делит эти углы пополам. Углы между этой диагональю и сторонами ромба будут равны:
$\frac{135^\circ}{2} = 67,5^\circ$

Таким образом, у каждой вершины ромба диагонали образуют со сторонами два угла. Например, у вершины A диагональ AC образует со стороной AB угол $\angle BAC = 22,5^\circ$, а диагональ BD образует со стороной AB угол $\angle ABD = 67,5^\circ$.
В качестве проверки можно сложить полученные углы: $22,5^\circ + 67,5^\circ = 90^\circ$. Это соответствует тому, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, а сумма острых углов в прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, равна $90^\circ$.

Ответ: $22,5^\circ$ и $67,5^\circ$.

510 Докажите признаки ромба. Параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

Докажем два признака, по которым параллелограмм является ромбом. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, для доказательства нам нужно показать, что у данного параллелограмма смежные стороны равны.

а) его диагонали взаимно перпендикулярны

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AC$ и $BD$ — его диагонали, $AC \perp BD$.

Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$.

1. По свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $AO = OC$.
2. Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников.
3. По условию задачи, диагонали взаимно перпендикулярны, значит, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$.

Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = BC$.

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$). Так как мы доказали, что смежные стороны $AB$ и $BC$ равны, то все стороны параллелограмма равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) диагональ делит его угол пополам

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, диагональ $AC$ — биссектриса угла $\angle A$ (то есть $\angle BAC = \angle DAC$).

Доказать: $ABCD$ — ромб.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$.

1. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$.
2. Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AC$. Накрест лежащие углы при секущей равны: $\angle BCA = \angle DAC$.
3. По условию задачи, диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам: $\angle BAC = \angle DAC$.

Из пунктов 2 и 3 следует, что $\angle BCA = \angle BAC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как два его угла ($\angle BCA$ и $\angle BAC$) равны, то он является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, $AB = BC$.

Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$). Так как мы доказали, что смежные стороны $AB$ и $BC$ равны, то все стороны параллелограмма равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

511 Докажите признак квадрата. Ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.

Дано:

$ABCD$ — ромб.

$\angle A = 90^\circ$.

Доказать:

$ABCD$ — квадрат.

Доказательство:

1. По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, $AB = BC = CD = DA$.

2. Так как ромб является параллелограммом, он обладает всеми свойствами параллелограмма. В частности, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Рассмотрим углы, прилежащие к стороне $AB$:

$\angle A + \angle B = 180^\circ$

3. По условию $\angle A = 90^\circ$. Подставив это значение в формулу, получим:

$90^\circ + \angle B = 180^\circ$

Отсюда находим $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

4. Также, по свойству параллелограмма, его противолежащие углы равны. Таким образом:

$\angle C = \angle A = 90^\circ$

$\angle D = \angle B = 90^\circ$

5. Мы получили, что в четырехугольнике $ABCD$ все стороны равны (по определению ромба) и все углы равны $90^\circ$ (как было доказано выше). Четырехугольник, у которого все стороны и все углы равны, является квадратом. Следовательно, ромб $ABCD$ является квадратом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом, доказано.

512 Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

а)

Нет, не обязательно. Если диагонали четырёхугольника равны и взаимно перпендикулярны, это не гарантирует, что он является квадратом. Ключевым свойством диагоналей квадрата (а также параллелограмма, ромба и прямоугольника) является то, что они пересекаются в своей середине. В данном условии это не указано.
Можно построить контрпример: четырёхугольник $ABCD$, у которого диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, но точка их пересечения $O$ не является серединой для обеих. Например, пусть $AC \perp BD$, $AO = 1$, $OC = 3$, $BO = 3$, $DO = 1$. Тогда длина диагоналей будет одинаковой: $AC = AO + OC = 1 + 3 = 4$ и $BD = BO + DO = 3 + 1 = 4$. Диагонали равны и перпендикулярны.
Найдём длины сторон этого четырёхугольника по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
$AD = \sqrt{AO^2 + DO^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
Так как стороны $AB$ и $AD$ не равны, этот четырёхугольник не является квадратом.

Ответ: нет.

б)

Нет, не обязательно. Рассмотрим свойства по отдельности:
1. Если диагонали четырёхугольника имеют общую середину (делятся точкой пересечения пополам), то по признаку параллелограмма этот четырёхугольник — параллелограмм.
2. Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
Таким образом, четырёхугольник с указанными свойствами — это ромб. У ромба все стороны равны, но углы не обязательно прямые. Квадрат — это частный случай ромба, у которого диагонали равны (что приводит к прямым углам). В условии данного пункта равенство диагоналей не упоминается. Следовательно, ромб с неравными диагоналями будет удовлетворять условию, но не будет являться квадратом.

Ответ: нет.

в)

Да, является. Совокупность всех трёх условий — равенство, взаимная перпендикулярность и наличие общей середины — является достаточным признаком квадрата.
Рассуждаем по шагам:
1. Так как диагонали имеют общую середину, данный четырёхугольник является параллелограммом.
2. Так как у этого параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, он является ромбом.
3. Так как у этого ромба диагонали равны, он является квадратом. (У ромба, который не является квадратом, диагонали всегда имеют разную длину).
Можно рассуждать и в другом порядке:
1. Так как диагонали имеют общую середину, четырёхугольник — параллелограмм.
2. Так как у этого параллелограмма диагонали равны, он является прямоугольником.
3. Так как у этого прямоугольника диагонали взаимно перпендикулярны, он является квадратом. (У прямоугольника, который не является квадратом, диагонали не перпендикулярны).
Оба пути приводят к выводу, что четырёхугольник является квадратом.

Ответ: да.

513 В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.

Пусть дан прямоугольный треугольник, назовём его $ABC$, с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Проведена биссектриса $CL$ этого угла, где $L$ — точка на гипотенузе $AB$. По определению биссектрисы, она делит прямой угол на два равных угла: $\angle ACL = \angle BCL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Через точку $L$ проведены прямые, параллельные катетам. Пусть прямая, параллельная катету $AC$, пересекает катет $BC$ в точке $M$ (то есть $LM \parallel AC$). Пусть прямая, параллельная катету $BC$, пересекает катет $AC$ в точке $K$ (то есть $LK \parallel BC$). Рассмотрим полученный четырёхугольник $CKLM$.

Доказательство:

Сначала докажем, что $CKLM$ — это прямоугольник.По построению, противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны: $LM \parallel AC$ (значит, $LM \parallel CK$) и $LK \parallel BC$ (значит, $LK \parallel CM$). Следовательно, по определению, $CKLM$ является параллелограммом.Угол $\angle KCM$ этого параллелограмма совпадает с прямым углом исходного треугольника, $\angle C = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, $CKLM$ — прямоугольник.

Теперь докажем, что у этого прямоугольника равны смежные стороны.Рассмотрим треугольник $CKL$. Так как $LK \parallel BC$, то внутренние накрест лежащие углы при секущей $CL$ равны: $\angle KLC = \angle BCL$.Поскольку $CL$ — биссектриса, мы знаем, что $\angle BCL = 45^\circ$. Следовательно, $\angle KLC$ также равен $45^\circ$. В то же время, угол $\angle KCL$ по определению биссектрисы тоже равен $45^\circ$.

Так как в треугольнике $CKL$ два угла равны ($\angle KLC = \angle KCL = 45^\circ$), он является равнобедренным. Это означает, что стороны, лежащие против равных углов, равны: $CK = LK$.

Мы установили, что $CKLM$ — это прямоугольник, у которого две смежные стороны ($CK$ и $LK$) равны. По определению, такой прямоугольник является квадратом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Полученный четырёхугольник является квадратом.

514 Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С, катетом АС = 12 см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный и прямоугольный, с прямым углом при вершине $C$. Это означает, что его катеты равны: $AC = BC$. Также дано, что $AC = 12$ см, следовательно, $BC = 12$ см. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны по $45^\circ$, то есть $\angle A = \angle B = 45^\circ$.

В треугольник вписан квадрат $CDEF$ так, что его вершина $C$ совпадает с вершиной прямого угла треугольника, стороны $CD$ и $CF$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно, а вершина $E$ — на гипотенузе $AB$.

Обозначим длину стороны квадрата через $x$. Тогда $CD = CF = DE = EF = x$.

Рассмотрим расположение квадрата. Так как точка $D$ лежит на отрезке $AC$, то длина отрезка $AD$ будет равна разности длин $AC$ и $CD$: $AD = AC - CD = 12 - x$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADE$. Угол $\angle A$ у него общий с треугольником $ABC$, поэтому $\angle DAE = 45^\circ$. По определению квадрата, его сторона $DE$ перпендикулярна стороне $CD$. Поскольку сторона $CD$ лежит на катете $AC$, то сторона $DE$ перпендикулярна катету $AC$. Катет $BC$ также перпендикулярен катету $AC$ (так как $\angle C = 90^\circ$). Две прямые ($DE$ и $BC$), перпендикулярные одной и той же прямой ($AC$), параллельны между собой. Таким образом, $DE \parallel BC$.

Так как прямая $DE$ параллельна прямой $BC$, а гипотенуза $AB$ является секущей, то соответственные углы при этих параллельных прямых и секущей равны: $\angle AED = \angle ABC = 45^\circ$.

В треугольнике $ADE$ два угла равны $45^\circ$ ($\angle DAE$ и $\angle AED$), следовательно, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Значит, $AD = DE$.

Мы уже выразили длины этих сторон через $x$: $AD = 12 - x$ и $DE = x$. Составим и решим уравнение:
$12 - x = x$
$2x = 12$
$x = \frac{12}{2}$
$x = 6$ см.

Таким образом, мы нашли, что длина стороны квадрата равна 6 см.

Периметр квадрата ($P$) равен учетверенной длине его стороны: $P = 4 \times x = 4 \times 6 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

515 Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.

а) по двум смежным сторонам

Пусть даны длины двух смежных сторон прямоугольника $a$ и $b$.

1. Строим отрезок $AB$ длиной $a$.
2. В точке $A$ восстанавливаем перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. На этом перпендикуляре откладываем отрезок $AD$ длиной $b$.
4. Из точки $D$ проводим дугу окружности радиусом $a$.
5. Из точки $B$ проводим дугу окружности радиусом $b$.
6. Точка пересечения дуг $C$ является четвертой вершиной прямоугольника.
7. Соединяем точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Четырехугольник $ABCD$ - искомый прямоугольник, так как $\angle A = 90^\circ$ по построению, а противолежащие стороны $AB$ и $CD$, $AD$ и $BC$ равны по построению, что является признаком прямоугольника.
Ответ: Прямоугольник построен.

б) по стороне и диагонали

Пусть даны длина стороны $a$ и длина диагонали $d$. Для существования прямоугольника необходимо условие $d > a$.

1. Строим отрезок $AB$ длиной $a$.
2. В точке $B$ восстанавливаем перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $d$.
4. Точка пересечения этой дуги с перпендикуляром будет третьей вершиной прямоугольника — точкой $C$. Мы получили прямоугольный треугольник $ABC$.
5. Для нахождения четвертой вершины $D$ из точки $C$ проводим дугу окружности радиусом $a$.
6. Из точки $A$ проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $BC$.
7. Точка пересечения этих дуг $D$ является четвертой вершиной.
8. Соединяем точки $A$ с $D$ и $C$ с $D$.

Четырехугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник. По построению он является параллелограммом ($AB=CD$, $BC=AD$) с прямым углом ($\angle B = 90^\circ$), следовательно, это прямоугольник.
Ответ: Прямоугольник построен.

в) по диагонали и углу между диагоналями

Пусть даны длина диагонали $d$ и угол $\alpha$ между диагоналями.

1. Строим отрезок $AC$ длиной $d$. Это будет первая диагональ.
2. Находим его середину — точку $O$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к $AC$.
3. Через точку $O$ проводим прямую $l$ так, чтобы угол между прямой $l$ и отрезком $AC$ был равен $\alpha$.
4. На прямой $l$ от точки $O$ в обе стороны откладываем отрезки длиной $d/2$. Получаем точки $B$ и $D$. Отрезок $BD$ является второй диагональю.
5. Последовательно соединяем точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

В полученном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны ($AC=BD=d$) и точкой пересечения $O$ делятся пополам ($AO=OC=BO=OD=d/2$). Четырехугольник, у которого диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, является прямоугольником.
Ответ: Прямоугольник построен.

516 Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу.

а) по двум диагоналям

Пусть даны два отрезка $d_1$ и $d_2$, которые являются диагоналями будущего ромба. Для построения ромба воспользуемся свойством его диагоналей: они взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Алгоритм построения:
1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный первой диагонали $d_1$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ как из центров проведем две дуги окружности радиусом, большим половины длины $AC$. Через точки пересечения этих дуг проведем прямую. Эта прямая перпендикулярна отрезку $AC$ и пересекает его в середине, точке $O$.
3. На построенном серединном перпендикуляре от точки $O$ в обе стороны отложим отрезки $OB$ и $OD$, равные половине второй диагонали, то есть $d_2/2$.
4. Последовательно соединим отрезками точки $A, B, C$ и $D$.

Доказательство: В полученном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ по построению взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и в точке пересечения $O$ делятся пополам ($AO = OC = d_1/2$ и $BO = OD = d_2/2$). Четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — искомый ромб.

Ответ: Построение выполнено.

б) по стороне и углу

Пусть даны отрезок $s$ (сторона ромба) и угол $\alpha$ (один из углов ромба). Для построения воспользуемся определением ромба — это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Алгоритм построения:
1. Проведем произвольный луч с началом в точке $A$ и отложим на нем отрезок $AB$, равный данной стороне $s$.
2. От луча $AB$ отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Построим второй луч $AY$ из точки $A$ так, чтобы $\angle YAB = \alpha$.
3. На луче $AY$ отложим отрезок $AD$, равный стороне $s$.
4. Построим две дуги окружностей радиусом $s$: одну с центром в точке $B$, а другую с центром в точке $D$. Точку их пересечения, отличную от $A$, обозначим $C$.
5. Соединим отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Доказательство: В полученном четырехугольнике $ABCD$ все стороны по построению равны данной стороне $s$: $AB = AD = BC = CD = s$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Угол $\angle DAB$ по построению равен данному углу $\alpha$. Следовательно, $ABCD$ — искомый ромб.

Ответ: Построение выполнено.

517 Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.

а) по стороне

Пусть дан отрезок, равный стороне искомого квадрата $a$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.
Алгоритм построения:
1. Начертить произвольную прямую и на ней с помощью циркуля отложить отрезок AB, равный данной стороне $a$.
2. В точке A построить перпендикуляр к прямой AB. Для этого нужно из точки A провести дугу окружности, пересекающую прямую AB в двух точках (для этого может понадобиться продлить прямую за точку A). Из этих двух точек, как из центров, провести две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, соединяющая точку A с точкой пересечения дуг, будет перпендикулярна AB.
3. На построенном перпендикуляре отложить от точки A отрезок AD, равный стороне $a$.
4. Из точки D провести дугу окружности радиусом $a$.
5. Из точки B провести дугу окружности радиусом $a$.
6. Точка пересечения дуг, построенных в шагах 4 и 5, является четвертой вершиной квадрата C.
7. Соединить отрезками точки B с C и D с C.
Четырехугольник ABCD является искомым квадратом, так как по построению все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA = a$) и один из углов прямой ($\angle DAB = 90^\circ$).
Ответ: Построение выполнено.

б) по диагонали

Пусть дан отрезок, равный диагонали искомого квадрата $d$. Построение основано на свойствах диагоналей квадрата: они равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Алгоритм построения:
1. Начертить отрезок AC, равный данной диагонали $d$.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку AC. Для этого из его концов, точек A и C, провести две пересекающиеся дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем половина длины AC). Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром к AC.
3. Обозначить точку пересечения отрезка AC и серединного перпендикуляра как O. Эта точка — центр квадрата.
4. Измерить циркулем расстояние AO (половину диагонали).
5. Отложить это расстояние от точки O по серединному перпендикуляру в обе стороны, отметив точки B и D. Таким образом, $OB = OD = OA = OC = d/2$.
6. Последовательно соединить отрезками вершины A, B, C и D.
Полученный четырехугольник ABCD — искомый квадрат, так как его диагонали AC и BD по построению равны, взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения O пополам.
Ответ: Построение выполнено.

518 Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Пусть точки $M$ и $N$ являются серединами противоположных сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Проведем через точки $M$ и $N$ прямую $l$. Требуется доказать, что прямая $l$ является осью симметрии прямоугольника $ABCD$.

По определению, ось симметрии фигуры — это такая прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Таким образом, нам нужно показать, что при отражении относительно прямой $l$ любая точка прямоугольника $ABCD$ переходит в точку, также принадлежащую этому прямоугольнику.

По свойству прямоугольника, его противоположные стороны равны и параллельны, т.е. $AB = CD$ и $AB \parallel CD$. Также все углы прямоугольника прямые, в частности $\angle A = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$.

Поскольку $M$ — середина стороны $AB$, то $AM = MB = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, $N$ — середина $CD$, поэтому $DN = NC = \frac{1}{2}CD$. Так как $AB = CD$, то $AM = DN$.

Рассмотрим четырехугольник $AMND$. Его стороны $AM$ и $DN$ параллельны (так как лежат на параллельных прямых $AB$ и $CD$) и равны. Следовательно, $AMND$ является параллелограммом. Поскольку угол $\angle A$ этого параллелограмма равен $90^\circ$, $AMND$ является прямоугольником. Из этого следует, что прямая $MN$ перпендикулярна сторонам $AB$ и $CD$.

Теперь рассмотрим симметричное отражение вершин прямоугольника $ABCD$ относительно прямой $l=MN$.

Для вершины $A$: отраженная точка должна лежать на прямой, проходящей через $A$ перпендикулярно $l$. Этой прямой является прямая $AB$. Расстояние от $A$ до $l$ равно $AM$. Точка на прямой $AB$, удаленная от $l$ на такое же расстояние с другой стороны, — это точка $B$, так как $M$ является серединой $AB$. Значит, точка $A$ отражается в точку $B$. Аналогично, точка $B$ отражается в точку $A$.

Для вершины $D$: отраженная точка лежит на прямой $CD$, перпендикулярной $l$. Расстояние от $D$ до $l$ равно $DN$. Точка на прямой $CD$ на таком же расстоянии с другой стороны — это точка $C$, так как $N$ — середина $CD$. Значит, точка $D$ отражается в точку $C$. Аналогично, точка $C$ отражается в точку $D$.

Поскольку при отражении относительно прямой $l$ вершины прямоугольника переходят в вершины того же прямоугольника ($A \leftrightarrow B$, $C \leftrightarrow D$), то и стороны прямоугольника переходят в стороны этого же прямоугольника. Отрезок $AD$ переходит в отрезок $BC$ и наоборот, а отрезки $AB$ и $CD$ переходят сами в себя. Таким образом, весь контур прямоугольника, а значит и вся фигура, отображается сама на себя.

Это доказывает, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии. Аналогичное доказательство справедливо и для прямой, соединяющей середины сторон $AD$ и $BC$.

Ответ: Утверждение доказано.

519 Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка AB.

Для того чтобы построить точку, симметричную точке $M$ относительно середины отрезка $AB$, необходимо выполнить последовательность геометрических построений. Весь процесс можно разделить на два основных этапа.

1. Нахождение середины отрезка $AB$

Сначала нужно найти центр симметрии, которым по условию является середина отрезка $AB$. Обозначим эту точку как $O$. Для ее построения с помощью циркуля и линейки выполняются следующие действия:

1. Соединяем точки $A$ и $B$, чтобы получить отрезок $AB$.
2. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности, радиус которой ($R$) заведомо больше половины длины отрезка $AB$.
3. Не изменяя радиус циркуля, из точки $B$ как из центра проводим вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках.
4. Через полученные две точки пересечения дуг проводим прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
5. Точка пересечения построенного серединного перпендикуляра с отрезком $AB$ и есть его середина. Обозначаем эту точку $O$.

2. Построение точки $M'$, симметричной точке $M$ относительно точки $O$

После того как центр симметрии $O$ найден, строим искомую точку $M'$. Точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Алгоритм построения следующий:

1. Проводим прямую через точки $M$ и $O$.
2. С помощью циркуля измеряем расстояние $MO$.
3. Откладываем на прямой $MO$ от точки $O$ такое же расстояние в направлении, противоположном точке $M$. Получаем точку $M'$.

Таким образом, построенная точка $M'$ лежит на одной прямой с точками $M$ и $O$, и при этом выполняется равенство $MO = OM'$. Это означает, что $M'$ симметрична $M$ относительно точки $O$, которая, в свою очередь, является серединой отрезка $AB$.

Ответ: Искомая точка $M'$ строится так: сначала с помощью циркуля и линейки находится середина $O$ отрезка $AB$, затем проводится прямая через точки $M$ и $O$, и на этой прямой откладывается отрезок $OM'$, равный отрезку $OM$, так, чтобы точка $O$ лежала между точками $M$ и $M'$.

1 Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника.

Какой многоугольник называется выпуклым?

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины (то есть от прямой, содержащей любую его сторону).

Это означает, что если мы мысленно продлим любую из сторон многоугольника в бесконечную прямую, весь многоугольник окажется полностью в одной из двух полуплоскостей, на которые эта прямая делит плоскость. Если хотя бы для одной стороны это правило не выполняется, и многоугольник оказывается по обе стороны от прямой, то такой многоугольник не является выпуклым (его называют невыпуклым или вогнутым).

Существует и другое, эквивалентное определение: многоугольник является выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки, принадлежащие многоугольнику, целиком содержится внутри этого многоугольника.

Ответ: Выпуклым называется многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника.

Углами выпуклого многоугольника называются его внутренние углы. Если вершины многоугольника обозначены последовательно $A_1, A_2, \dots, A_n$, то угол многоугольника при вершине $A_k$ — это угол $A_{k-1}A_kA_{k+1}$, образованный двумя смежными сторонами $A_{k-1}A_k$ и $A_kA_{k+1}$.

Главная особенность углов выпуклого многоугольника заключается в том, что величина каждого из них строго меньше развернутого угла, то есть меньше $180^\circ$. Если в многоугольнике есть хотя бы один внутренний угол, больший $180^\circ$, он не является выпуклым.

Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: $ S_n = (n-2) \cdot 180^\circ $ где $n$ — это количество вершин (или сторон) многоугольника.

Ответ: Углами выпуклого многоугольника называются его внутренние углы, которые образованы соседними сторонами при каждой вершине. Величина каждого такого угла строго меньше $180^\circ$.

2 Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника.

Для вывода формулы суммы углов выпуклого n-угольника воспользуемся методом триангуляции, то есть разделением многоугольника на треугольники. Известно, что сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$.

Рассмотрим произвольный выпуклый n-угольник, у которого $n$ вершин и $n$ сторон (где $n \ge 3$). Выберем одну любую вершину этого многоугольника и проведем из нее все возможные диагонали к остальным вершинам.

Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Поэтому из одной выбранной вершины нельзя провести диагональ к самой себе и к двум соседним с ней вершинам. Следовательно, из одной вершины можно провести диагонали к $n-3$ другим вершинам.

Эти $n-3$ диагонали разделят n-угольник на $n-2$ треугольника. Можно проверить это на простых примерах:

• В четырехугольнике ($n=4$) из одной вершины можно провести $4-3=1$ диагональ, которая делит его на $4-2=2$ треугольника.
• В пятиугольнике ($n=5$) из одной вершины можно провести $5-3=2$ диагонали, которые делят его на $5-2=3$ треугольника.

Сумма всех внутренних углов n-угольника равна сумме углов всех треугольников, на которые он был разделен, так как при сложении углов этих треугольников мы в точности получаем углы исходного многоугольника.

Поскольку n-угольник разбивается на $n-2$ треугольника, а сумма углов каждого из них равна $180^\circ$, то общая сумма углов $S_n$ для выпуклого n-угольника вычисляется как произведение количества треугольников на $180^\circ$:

$S_n = (n-2) \times 180^\circ$

Это и есть искомая формула.

Ответ: Формула для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника: $S_n = 180^\circ \cdot (n-2)$, где $n$ — количество углов (или сторон) многоугольника.