Номер 509, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 509, страница 135.

509 Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°.

Пусть нам дан ромб. Обозначим его углы как $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$. По условию задачи, один из углов ромба равен $45^\circ$. Пусть $\angle A = 45^\circ$.

Ромб является разновидностью параллелограмма, поэтому у него, как и у любого параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Найдем величину угла, соседнего с углом $\angle A$, например, угла $\angle B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Также в ромбе противолежащие углы равны. Следовательно:
$\angle C = \angle A = 45^\circ$
$\angle D = \angle B = 135^\circ$

Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали являются биссектрисами его углов. Это означает, что каждая диагональ делит угол, из которого она выходит, на два равных угла.

Рассмотрим диагональ, которая соединяет вершины с углами по $45^\circ$ (диагональ AC). Она делит эти углы пополам. Таким образом, углы между этой диагональю и сторонами ромба будут равны:
$\frac{45^\circ}{2} = 22,5^\circ$

Теперь рассмотрим вторую диагональ, которая соединяет вершины с углами по $135^\circ$ (диагональ BD). Она также делит эти углы пополам. Углы между этой диагональю и сторонами ромба будут равны:
$\frac{135^\circ}{2} = 67,5^\circ$

Таким образом, у каждой вершины ромба диагонали образуют со сторонами два угла. Например, у вершины A диагональ AC образует со стороной AB угол $\angle BAC = 22,5^\circ$, а диагональ BD образует со стороной AB угол $\angle ABD = 67,5^\circ$.
В качестве проверки можно сложить полученные углы: $22,5^\circ + 67,5^\circ = 90^\circ$. Это соответствует тому, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, а сумма острых углов в прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, равна $90^\circ$.

Ответ: $22,5^\circ$ и $67,5^\circ$.