Номер 512, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 512, страница 135.

512 Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

а)

Нет, не обязательно. Если диагонали четырёхугольника равны и взаимно перпендикулярны, это не гарантирует, что он является квадратом. Ключевым свойством диагоналей квадрата (а также параллелограмма, ромба и прямоугольника) является то, что они пересекаются в своей середине. В данном условии это не указано.
Можно построить контрпример: четырёхугольник $ABCD$, у которого диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, но точка их пересечения $O$ не является серединой для обеих. Например, пусть $AC \perp BD$, $AO = 1$, $OC = 3$, $BO = 3$, $DO = 1$. Тогда длина диагоналей будет одинаковой: $AC = AO + OC = 1 + 3 = 4$ и $BD = BO + DO = 3 + 1 = 4$. Диагонали равны и перпендикулярны.
Найдём длины сторон этого четырёхугольника по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
$AD = \sqrt{AO^2 + DO^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
Так как стороны $AB$ и $AD$ не равны, этот четырёхугольник не является квадратом.

Ответ: нет.

б)

Нет, не обязательно. Рассмотрим свойства по отдельности:
1. Если диагонали четырёхугольника имеют общую середину (делятся точкой пересечения пополам), то по признаку параллелограмма этот четырёхугольник — параллелограмм.
2. Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
Таким образом, четырёхугольник с указанными свойствами — это ромб. У ромба все стороны равны, но углы не обязательно прямые. Квадрат — это частный случай ромба, у которого диагонали равны (что приводит к прямым углам). В условии данного пункта равенство диагоналей не упоминается. Следовательно, ромб с неравными диагоналями будет удовлетворять условию, но не будет являться квадратом.

Ответ: нет.

в)

Да, является. Совокупность всех трёх условий — равенство, взаимная перпендикулярность и наличие общей середины — является достаточным признаком квадрата.
Рассуждаем по шагам:
1. Так как диагонали имеют общую середину, данный четырёхугольник является параллелограммом.
2. Так как у этого параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, он является ромбом.
3. Так как у этого ромба диагонали равны, он является квадратом. (У ромба, который не является квадратом, диагонали всегда имеют разную длину).
Можно рассуждать и в другом порядке:
1. Так как диагонали имеют общую середину, четырёхугольник — параллелограмм.
2. Так как у этого параллелограмма диагонали равны, он является прямоугольником.
3. Так как у этого прямоугольника диагонали взаимно перпендикулярны, он является квадратом. (У прямоугольника, который не является квадратом, диагонали не перпендикулярны).
Оба пути приводят к выводу, что четырёхугольник является квадратом.

Ответ: да.