Номер 519, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 519, страница 135.

519 Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка AB.

Для того чтобы построить точку, симметричную точке $M$ относительно середины отрезка $AB$, необходимо выполнить последовательность геометрических построений. Весь процесс можно разделить на два основных этапа.

1. Нахождение середины отрезка $AB$

Сначала нужно найти центр симметрии, которым по условию является середина отрезка $AB$. Обозначим эту точку как $O$. Для ее построения с помощью циркуля и линейки выполняются следующие действия:

1. Соединяем точки $A$ и $B$, чтобы получить отрезок $AB$.
2. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности, радиус которой ($R$) заведомо больше половины длины отрезка $AB$.
3. Не изменяя радиус циркуля, из точки $B$ как из центра проводим вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках.
4. Через полученные две точки пересечения дуг проводим прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
5. Точка пересечения построенного серединного перпендикуляра с отрезком $AB$ и есть его середина. Обозначаем эту точку $O$.

2. Построение точки $M'$, симметричной точке $M$ относительно точки $O$

После того как центр симметрии $O$ найден, строим искомую точку $M'$. Точка $M'$ симметрична точке $M$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Алгоритм построения следующий:

1. Проводим прямую через точки $M$ и $O$.
2. С помощью циркуля измеряем расстояние $MO$.
3. Откладываем на прямой $MO$ от точки $O$ такое же расстояние в направлении, противоположном точке $M$. Получаем точку $M'$.

Таким образом, построенная точка $M'$ лежит на одной прямой с точками $M$ и $O$, и при этом выполняется равенство $MO = OM'$. Это означает, что $M'$ симметрична $M$ относительно точки $O$, которая, в свою очередь, является серединой отрезка $AB$.

Ответ: Искомая точка $M'$ строится так: сначала с помощью циркуля и линейки находится середина $O$ отрезка $AB$, затем проводится прямая через точки $M$ и $O$, и на этой прямой откладывается отрезок $OM'$, равный отрезку $OM$, так, чтобы точка $O$ лежала между точками $M$ и $M'$.