Номер 3, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 6. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 3, страница 136.

3 Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Доказательство:

Рассмотрим выпуклый n-угольник, где $ n $ — количество вершин (и сторон), $ n \ge 3 $. Обозначим его внутренние углы как $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n $, а соответствующие им внешние углы (взятые по одному при каждой вершине) — как $ \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n $.

Внешний угол при любой вершине многоугольника по определению является смежным с внутренним углом при той же вершине. Сумма смежных углов всегда равна $ 180^\circ $. Следовательно, для каждой $ i $-ой вершины (где $ i $ изменяется от 1 до $ n $) справедливо равенство:

$ \alpha_i + \beta_i = 180^\circ $

Из этого равенства выразим величину внешнего угла через внутренний:

$ \beta_i = 180^\circ - \alpha_i $

Чтобы найти сумму всех внешних углов $ S_{внешн} $, просуммируем все $ \beta_i $:

$ S_{внешн} = \sum_{i=1}^{n} \beta_i = \sum_{i=1}^{n} (180^\circ - \alpha_i) $

Используя свойства суммы, разобьем ее на две части:

$ S_{внешн} = \sum_{i=1}^{n} 180^\circ - \sum_{i=1}^{n} \alpha_i $

Первая сумма, $ \sum_{i=1}^{n} 180^\circ $, представляет собой $ n $ слагаемых, равных $ 180^\circ $, и равна $ n \times 180^\circ $.

Вторая сумма, $ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i $, является суммой всех внутренних углов выпуклого n-угольника. Эта сумма, $ S_{внутр} $, вычисляется по известной теореме:

$ S_{внутр} = (n - 2) \times 180^\circ $

Теперь подставим оба результата в выражение для $ S_{внешн} $:

$ S_{внешн} = n \times 180^\circ - (n - 2) \times 180^\circ $

Вынесем за скобки общий множитель $ 180^\circ $:

$ S_{внешн} = (n - (n - 2)) \times 180^\circ $

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:

$ S_{внешн} = (n - n + 2) \times 180^\circ $

$ S_{внешн} = 2 \times 180^\circ $

$ S_{внешн} = 360^\circ $

Таким образом, мы показали, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от количества его сторон и всегда составляет $ 360^\circ $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна $ 360^\circ $.