Номер 8, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 6. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 8, страница 136.

8 Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Необходимо доказать, что точка пересечения делит диагонали пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

Для доказательства рассмотрим треугольники, образованные пересечением диагоналей, например, $\Delta AOD$ и $\Delta COB$.

1. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны равны и параллельны. Следовательно, сторона $AD$ равна стороне $BC$ ($AD = BC$), и прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ ($AD \parallel BC$).

2. Так как прямые $AD$ и $BC$ параллельны, то при их пересечении секущей $AC$ образуются внутренние накрест лежащие углы, которые равны между собой. Таким образом, $\angle OAD = \angle OCB$.

3. Аналогично, при пересечении тех же параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $BD$ образуются равные внутренние накрест лежащие углы: $\angle ODA = \angle OBC$.

4. Теперь мы можем сравнить треугольники $\Delta AOD$ и $\Delta COB$. В них:

• сторона $AD$ равна стороне $BC$ (из свойства параллелограмма),

• угол $\angle OAD$ равен углу $\angle OCB$ (как накрест лежащие),

• угол $\angle ODA$ равен углу $\angle OBC$ (как накрест лежащие).

Следовательно, треугольник $\Delta AOD$ равен треугольнику $\Delta COB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих (соответственных) сторон. Значит, сторона $AO$ треугольника $\Delta AOD$ равна стороне $CO$ треугольника $\Delta COB$, и сторона $DO$ равна стороне $BO$.

Таким образом, $AO = CO$ и $BO = DO$, что и означает, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.