Номер 13, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 6. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 13, страница 136.

13 Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Проведём в нём диагонали $AC$ и $BD$. Нам необходимо доказать, что длины этих диагоналей равны, то есть $AC = BD$.

Рассмотрим два треугольника, которые образуются при проведении диагоналей: $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

Сравним эти треугольники, чтобы доказать их равенство:

1. Сторона $AB$ равна стороне $DC$ ($AB = DC$), так как они являются противолежащими сторонами прямоугольника, а у прямоугольника противолежащие стороны равны.
2. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.
3. Угол $\angle BAD$ равен углу $\angle CDA$ ($\angle BAD = \angle CDA = 90^\circ$), так как все углы в прямоугольнике по определению прямые.

Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle DCA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Также, поскольку эти треугольники прямоугольные, можно сказать, что они равны по двум катетам.

Поскольку треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны, то равны и все их соответствующие элементы. Сторона $BD$ в треугольнике $\triangle ABD$ является гипотенузой и лежит напротив прямого угла $\angle A$. Сторона $AC$ в треугольнике $\triangle DCA$ является гипотенузой и лежит напротив прямого угла $\angle D$. Следовательно, эти стороны являются соответствующими.

Отсюда следует, что $BD = AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Диагонали прямоугольника равны.