Номер 18, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Вопросы для повторения к главе 6 - номер 18, страница 136.

Условие.

18 Сформулируйте и докажите утверждения о признаках квадрата.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Квадрат — это четырехугольник, который одновременно является прямоугольником (все углы прямые) и ромбом (все стороны равны). Признаки квадрата — это теоремы, которые устанавливают достаточные условия для того, чтобы четырехугольник был квадратом. Ниже сформулированы и доказаны основные признаки квадрата.

Если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.

Дано: $ABCD$ — прямоугольник, $AB = BC$.
Доказать: $ABCD$ — квадрат.
Доказательство:
По определению, прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. У параллелограмма противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD$ и $BC = AD$.
По условию дано, что смежные стороны $AB$ и $BC$ равны: $AB = BC$.
Из этих равенств следует, что все стороны четырехугольника равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.
Таким образом, четырехугольник $ABCD$ имеет все равные стороны, значит, он является ромбом. Поскольку $ABCD$ является и прямоугольником (по условию), и ромбом (по доказанному), он является квадратом по определению.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямоугольник с равными смежными сторонами имеет все стороны равными, а так как все его углы прямые, он является квадратом.

Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.

Дано: $ABCD$ — прямоугольник, $AC \perp BD$.
Доказать: $ABCD$ — квадрат.
Доказательство:
Прямоугольник является параллелограммом. По известному признаку ромба, если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.
Таким образом, прямоугольник $ABCD$ — это ромб.
Поскольку $ABCD$ является одновременно и прямоугольником (по условию), и ромбом (по доказанному), он является квадратом по определению.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямоугольник с перпендикулярными диагоналями является также и ромбом, следовательно, это квадрат.

Если у ромба есть прямой угол, то этот ромб является квадратом.

Дано: $ABCD$ — ромб, $\angle A = 90^\circ$.
Доказать: $ABCD$ — квадрат.
Доказательство:
Ромб является параллелограммом. У параллелограмма противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.
Так как $\angle A = 90^\circ$, то противолежащий ему угол $\angle C$ также равен $90^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к стороне $AB$, это $\angle A$ и $\angle B$, и она равна $180^\circ$. Отсюда $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Противолежащий углу $\angle B$ угол $\angle D$ также равен $90^\circ$.
Таким образом, все углы ромба $ABCD$ прямые. Четырехугольник, у которого все стороны равны (так как это ромб) и все углы прямые, является квадратом.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Ромб с одним прямым углом имеет все прямые углы, а так как у него по определению все стороны равны, он является квадратом.

Если диагонали ромба равны, то этот ромб является квадратом.

Дано: $ABCD$ — ромб, $AC = BD$.
Доказать: $ABCD$ — квадрат.
Доказательство:
Ромб является параллелограммом. По известному признаку прямоугольника, если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
Таким образом, ромб $ABCD$ является также и прямоугольником.
Поскольку $ABCD$ является одновременно и ромбом (по условию), и прямоугольником (по доказанному), он является квадратом по определению.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Ромб с равными диагоналями является также и прямоугольником, следовательно, это квадрат.