Номер 17, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 6. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 17, страница 136.

17 Какой четырёхугольник называется квадратом? Перечислите основные свойства квадрата.

Какой четырёхугольник называется квадратом?

Квадрат — это правильный четырёхугольник, то есть выпуклый четырёхугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой. Так как сумма углов любого четырёхугольника равна $360^\circ$, то каждый угол квадрата равен $360^\circ / 4 = 90^\circ$.

Квадрат можно также определить через другие геометрические фигуры:

• Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны (или у которого смежные стороны равны).
• Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Таким образом, квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом, и наследует все их свойства.

Ответ: Квадратом называется правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы равны $90^\circ$.

Перечислите основные свойства квадрата.

Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба. Вот основные из них:

1. Стороны и углы:
   • Все четыре стороны равны по длине.
   • Все четыре угла прямые (равны $90^\circ$).
   • Противоположные стороны попарно параллельны.
2. Диагонали:
   • Диагонали квадрата равны между собой.
   • Диагонали взаимно перпендикулярны.
   • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
   • Диагонали являются биссектрисами углов квадрата (делят каждый угол на два угла по $45^\circ$).
3. Симметрия:
   • Квадрат имеет четыре оси симметрии: две проходят через середины противоположных сторон, и две — по диагоналям.
   • Обладает вращательной симметрией 4-го порядка (поворот на $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ вокруг центра оставляет фигуру неизменной).
4. Окружности:
   • В квадрат можно вписать окружность. Её центр лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус $r$ равен половине стороны: $r = \frac{a}{2}$.
   • Около квадрата можно описать окружность. Её центр также находится в точке пересечения диагоналей, а радиус $R$ равен половине диагонали: $R = \frac{d}{2}$.
5. Формулы (где $a$ — сторона, $d$ — диагональ):
   • Периметр: $P = 4a$.
   • Площадь: $S = a^2$ или $S = \frac{d^2}{2}$.
   • Длина диагонали: $d = a\sqrt{2}$.

Ответ: Основные свойства квадрата: все стороны равны; все углы прямые ($90^\circ$); диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов; в квадрат можно вписать и около него можно описать окружность.