Номер 2, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 6. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 2, страница 135.

2 Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника.

Для вывода формулы суммы углов выпуклого n-угольника воспользуемся методом триангуляции, то есть разделением многоугольника на треугольники. Известно, что сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$.

Рассмотрим произвольный выпуклый n-угольник, у которого $n$ вершин и $n$ сторон (где $n \ge 3$). Выберем одну любую вершину этого многоугольника и проведем из нее все возможные диагонали к остальным вершинам.

Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Поэтому из одной выбранной вершины нельзя провести диагональ к самой себе и к двум соседним с ней вершинам. Следовательно, из одной вершины можно провести диагонали к $n-3$ другим вершинам.

Эти $n-3$ диагонали разделят n-угольник на $n-2$ треугольника. Можно проверить это на простых примерах:

• В четырехугольнике ($n=4$) из одной вершины можно провести $4-3=1$ диагональ, которая делит его на $4-2=2$ треугольника.
• В пятиугольнике ($n=5$) из одной вершины можно провести $5-3=2$ диагонали, которые делят его на $5-2=3$ треугольника.

Сумма всех внутренних углов n-угольника равна сумме углов всех треугольников, на которые он был разделен, так как при сложении углов этих треугольников мы в точности получаем углы исходного многоугольника.

Поскольку n-угольник разбивается на $n-2$ треугольника, а сумма углов каждого из них равна $180^\circ$, то общая сумма углов $S_n$ для выпуклого n-угольника вычисляется как произведение количества треугольников на $180^\circ$:

$S_n = (n-2) \times 180^\circ$

Это и есть искомая формула.

Ответ: Формула для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника: $S_n = 180^\circ \cdot (n-2)$, где $n$ — количество углов (или сторон) многоугольника.