Номер 515, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. 53. Центральная симметрии - номер 515, страница 135.

Условие.

515 Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

а) по двум смежным сторонам

Пусть даны длины двух смежных сторон прямоугольника $a$ и $b$.

1. Строим отрезок $AB$ длиной $a$.
2. В точке $A$ восстанавливаем перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. На этом перпендикуляре откладываем отрезок $AD$ длиной $b$.
4. Из точки $D$ проводим дугу окружности радиусом $a$.
5. Из точки $B$ проводим дугу окружности радиусом $b$.
6. Точка пересечения дуг $C$ является четвертой вершиной прямоугольника.
7. Соединяем точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Четырехугольник $ABCD$ - искомый прямоугольник, так как $\angle A = 90^\circ$ по построению, а противолежащие стороны $AB$ и $CD$, $AD$ и $BC$ равны по построению, что является признаком прямоугольника.
Ответ: Прямоугольник построен.

б) по стороне и диагонали

Пусть даны длина стороны $a$ и длина диагонали $d$. Для существования прямоугольника необходимо условие $d > a$.

1. Строим отрезок $AB$ длиной $a$.
2. В точке $B$ восстанавливаем перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $d$.
4. Точка пересечения этой дуги с перпендикуляром будет третьей вершиной прямоугольника — точкой $C$. Мы получили прямоугольный треугольник $ABC$.
5. Для нахождения четвертой вершины $D$ из точки $C$ проводим дугу окружности радиусом $a$.
6. Из точки $A$ проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $BC$.
7. Точка пересечения этих дуг $D$ является четвертой вершиной.
8. Соединяем точки $A$ с $D$ и $C$ с $D$.

Четырехугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник. По построению он является параллелограммом ($AB=CD$, $BC=AD$) с прямым углом ($\angle B = 90^\circ$), следовательно, это прямоугольник.
Ответ: Прямоугольник построен.

в) по диагонали и углу между диагоналями

Пусть даны длина диагонали $d$ и угол $\alpha$ между диагоналями.

1. Строим отрезок $AC$ длиной $d$. Это будет первая диагональ.
2. Находим его середину — точку $O$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к $AC$.
3. Через точку $O$ проводим прямую $l$ так, чтобы угол между прямой $l$ и отрезком $AC$ был равен $\alpha$.
4. На прямой $l$ от точки $O$ в обе стороны откладываем отрезки длиной $d/2$. Получаем точки $B$ и $D$. Отрезок $BD$ является второй диагональю.
5. Последовательно соединяем точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

В полученном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны ($AC=BD=d$) и точкой пересечения $O$ делятся пополам ($AO=OC=BO=OD=d/2$). Четырехугольник, у которого диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, является прямоугольником.
Ответ: Прямоугольник построен.