Номер 515, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 515, страница 135.

515 Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.

а) по двум смежным сторонам

Пусть даны длины двух смежных сторон прямоугольника $a$ и $b$.

1. Строим отрезок $AB$ длиной $a$.
2. В точке $A$ восстанавливаем перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. На этом перпендикуляре откладываем отрезок $AD$ длиной $b$.
4. Из точки $D$ проводим дугу окружности радиусом $a$.
5. Из точки $B$ проводим дугу окружности радиусом $b$.
6. Точка пересечения дуг $C$ является четвертой вершиной прямоугольника.
7. Соединяем точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Четырехугольник $ABCD$ - искомый прямоугольник, так как $\angle A = 90^\circ$ по построению, а противолежащие стороны $AB$ и $CD$, $AD$ и $BC$ равны по построению, что является признаком прямоугольника.
Ответ: Прямоугольник построен.

б) по стороне и диагонали

Пусть даны длина стороны $a$ и длина диагонали $d$. Для существования прямоугольника необходимо условие $d > a$.

1. Строим отрезок $AB$ длиной $a$.
2. В точке $B$ восстанавливаем перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $d$.
4. Точка пересечения этой дуги с перпендикуляром будет третьей вершиной прямоугольника — точкой $C$. Мы получили прямоугольный треугольник $ABC$.
5. Для нахождения четвертой вершины $D$ из точки $C$ проводим дугу окружности радиусом $a$.
6. Из точки $A$ проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $BC$.
7. Точка пересечения этих дуг $D$ является четвертой вершиной.
8. Соединяем точки $A$ с $D$ и $C$ с $D$.

Четырехугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник. По построению он является параллелограммом ($AB=CD$, $BC=AD$) с прямым углом ($\angle B = 90^\circ$), следовательно, это прямоугольник.
Ответ: Прямоугольник построен.

в) по диагонали и углу между диагоналями

Пусть даны длина диагонали $d$ и угол $\alpha$ между диагоналями.

1. Строим отрезок $AC$ длиной $d$. Это будет первая диагональ.
2. Находим его середину — точку $O$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к $AC$.
3. Через точку $O$ проводим прямую $l$ так, чтобы угол между прямой $l$ и отрезком $AC$ был равен $\alpha$.
4. На прямой $l$ от точки $O$ в обе стороны откладываем отрезки длиной $d/2$. Получаем точки $B$ и $D$. Отрезок $BD$ является второй диагональю.
5. Последовательно соединяем точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

В полученном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны ($AC=BD=d$) и точкой пересечения $O$ делятся пополам ($AO=OC=BO=OD=d/2$). Четырехугольник, у которого диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, является прямоугольником.
Ответ: Прямоугольник построен.