Номер 508, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 508, страница 135.

508 Найдите периметр ромба ABCD, в котором ∠B = 60°, АС = 10,5 см.

По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все четыре стороны равны. Обозначим длину стороны ромба ABCD как a. Таким образом, AB = BC = CD = DA = a.

Периметр ромба P вычисляется по формуле $P = 4a$. Для нахождения периметра необходимо определить длину стороны ромба.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Он образован двумя смежными сторонами ромба AB, BC и диагональю AC.

Так как стороны ромба равны, то в треугольнике $\triangle ABC$ стороны AB и BC равны: $AB = BC = a$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным.

По условию задачи, угол между этими сторонами $\angle B = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle ABC$ имеем:

$\angle BAC + \angle BCA + \angle B = 180^\circ$

Подставим известные значения и учтем, что $\angle BAC = \angle BCA$:

$2 \cdot \angle BAC + 60^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 60^\circ$

$2 \cdot \angle BAC = 120^\circ$

$\angle BAC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Таким образом, все углы треугольника $\triangle ABC$ равны $60^\circ$ ($\angle B = \angle BAC = \angle BCA = 60^\circ$). Это значит, что треугольник $\triangle ABC$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Следовательно, $AB = BC = AC$.

Из условия задачи мы знаем, что длина диагонали $AC = 10,5$ см. Отсюда следует, что длина стороны ромба a также равна 10,5 см:

$a = AB = BC = AC = 10,5$ см.

Теперь можем вычислить периметр ромба:

$P = 4a = 4 \cdot 10,5 = 42$ см.

Ответ: 42 см.