Номер 507, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 507, страница 135.

507 В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

Пусть дан ромб, все стороны которого равны $a$. По условию задачи, одна из его диагоналей также равна $a$. Обозначим ромб как $ABCD$, а его сторону $AB=BC=CD=DA=a$. Пусть диагональ $BD$ равна стороне, то есть $BD=a$.

а) углы ромба

Рассмотрим треугольник $ABD$. У него все три стороны равны $a$ ($AB=a$, $AD=a$, $BD=a$). Следовательно, треугольник $ABD$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, угол ромба $\angle A = 60^\circ$.
В ромбе противоположные углы равны, значит, $\angle C = \angle A = 60^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$. Поэтому $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Соответственно, противоположный ему угол $\angle D = \angle B = 120^\circ$.
Таким образом, углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$ и $120^\circ$.
Ответ: Два угла по $60^\circ$ и два угла по $120^\circ$.

б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то есть делят углы пополам.
Диагональ $BD$ (которая по условию равна стороне) делит пополам углы $\angle B$ и $\angle D$, которые равны $120^\circ$.
Следовательно, углы, которые диагональ $BD$ образует со сторонами, равны:
$\angle ABD = \angle CBD = \frac{\angle B}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
$\angle ADB = \angle CDB = \frac{\angle D}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
Диагональ $AC$ делит пополам углы $\angle A$ и $\angle C$, которые равны $60^\circ$.
Следовательно, углы, которые диагональ $AC$ образует со сторонами, равны:
$\angle BAC = \angle DAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
$\angle BCA = \angle DCA = \frac{\angle C}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
Ответ: Диагональ, равная стороне, образует с его сторонами углы по $60^\circ$. Другая диагональ образует со сторонами углы по $30^\circ$.