Номер 506, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 506, страница 134.

506 В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника AOB, если ∠CAD = 30°, АС = 12 см.

По свойствам прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Дано, что $ABCD$ — прямоугольник, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Из этого следует, что $AC = BD = 12$ см, а также $AO = OC = BO = OD$.

Найдем длины отрезков $AO$ и $BO$, которые являются сторонами треугольника $AOB$:

$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

$BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Так как $AO = BO$, треугольник $AOB$ является равнобедренным.

Все углы прямоугольника равны $90^\circ$, поэтому $\angle DAB = 90^\circ$. Этот угол состоит из двух углов: $\angle CAB$ и $\angle CAD$.

По условию $\angle CAD = 30^\circ$. Найдем угол $\angle CAB$:

$\angle CAB = \angle DAB - \angle CAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $AOB$ угол $\angle CAB$ (он же $\angle OAB$) является углом при основании. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно:

$\angle OBA = \angle OAB = 60^\circ$.

Поскольку два угла в треугольнике $AOB$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle AOB$ также равен $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

Так как все углы треугольника $AOB$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны:

$AB = AO = BO = 6$ см.

Периметр треугольника $AOB$ равен сумме длин его сторон:

$P_{AOB} = AO + BO + AB = 6 + 6 + 6 = 18$ см.

Ответ: $18$ см.