Номер 504, страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 504, страница 134.

504 Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

а)

Пусть в прямоугольнике $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Угол $A$ прямоугольника равен $90^\circ$. Биссектриса $AK$ делит его на два равных угла: $\angle BAK = \angle DAK = 45^\circ$.
Рассмотрим треугольник $ABK$. В нем $\angle B = 90^\circ$ (так как $ABCD$ — прямоугольник) и $\angle BAK = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle BKA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Поскольку в треугольнике $ABK$ два угла равны ($\angle BAK = \angle BKA$), он является равнобедренным. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны: $AB = BK$.
Сторона $BC$ делится точкой $K$ на отрезки $BK$ и $KC$, длины которых равны 45,6 см и 7,85 см. Так как в условии не указано, какой из отрезков больше, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Пусть $BK = 45,6$ см и $KC = 7,85$ см.
Тогда сторона $AB = BK = 45,6$ см.
Сторона $BC$ равна сумме длин отрезков: $BC = BK + KC = 45,6 + 7,85 = 53,45$ см.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны.
$P = 2(AB + BC) = 2(45,6 + 53,45) = 2 \cdot 99,05 = 198,1$ см.

Случай 2: Пусть $BK = 7,85$ см и $KC = 45,6$ см.
Тогда сторона $AB = BK = 7,85$ см.
Сторона $BC$ равна сумме длин отрезков: $BC = BK + KC = 7,85 + 45,6 = 53,45$ см.
$P = 2(AB + BC) = 2(7,85 + 53,45) = 2 \cdot 61,3 = 122,6$ см.

Ответ: 198,1 см или 122,6 см.

б)

Пусть в прямоугольнике $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $DC$ в точке $M$. Угол $A$ прямоугольника равен $90^\circ$. Биссектриса $AM$ делит его на два равных угла: $\angle DAM = \angle BAM = 45^\circ$.
Рассмотрим треугольник $ADM$. В нем $\angle D = 90^\circ$ (так как $ABCD$ — прямоугольник) и $\angle DAM = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle AMD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Поскольку в треугольнике $ADM$ два угла равны ($\angle DAM = \angle AMD$), он является равнобедренным. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны: $AD = DM$.
Сторона $DC$ делится точкой $M$ на отрезки $DM$ и $MC$, длины которых равны 2,7 дм и 4,5 дм. Так как в условии не указано, какой из отрезков прилегает к вершине $D$, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Пусть $DM = 2,7$ дм и $MC = 4,5$ дм.
Тогда сторона $AD = DM = 2,7$ дм.
Сторона $DC$ равна сумме длин отрезков: $DC = DM + MC = 2,7 + 4,5 = 7,2$ дм.
Периметр прямоугольника: $P = 2(AD + DC) = 2(2,7 + 7,2) = 2 \cdot 9,9 = 19,8$ дм.

Случай 2: Пусть $DM = 4,5$ дм и $MC = 2,7$ дм.
Тогда сторона $AD = DM = 4,5$ дм.
Сторона $DC$ равна сумме длин отрезков: $DC = DM + MC = 4,5 + 2,7 = 7,2$ дм.
Периметр прямоугольника: $P = 2(AD + DC) = 2(4,5 + 7,2) = 2 \cdot 11,7 = 23,4$ дм.

Ответ: 19,8 дм или 23,4 дм.