Номер 498, страница 131 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 498, страница 131.

498 Даны острый угол hk и два отрезка P₁Q₁ и P₂Q₂. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми AB и DC равнялось P₁Q₁, AB = P₂Q₂ и ∠A = ∠hk.

Задача состоит в построении параллелограмма по стороне, углу и высоте, проведенной к этой стороне. Ниже представлен подробный разбор, алгоритм построения и его доказательство.

Анализ

Пусть искомый параллелограмм $ABCD$ уже построен. Проанализируем его свойства, вытекающие из условий задачи:

• Угол: Угол при вершине $A$ равен заданному острому углу $hk$, то есть $\angle A = \angle hk$.
• Сторона: Длина стороны $AB$ равна длине отрезка $P_2Q_2$, то есть $AB = P_2Q_2$.
• Высота: Расстояние между параллельными прямыми, содержащими стороны $AB$ и $DC$, равно длине отрезка $P_1Q_1$. Это расстояние является высотой параллелограмма, проведенной, например, из вершины $D$ к стороне $AB$. Обозначим эту высоту $h_{AB}$. Таким образом, $h_{AB} = P_1Q_1$.

Из анализа следует, что вершины $A$ и $B$ должны лежать на некоторой прямой $m$, а вершины $D$ и $C$ — на прямой $n$, параллельной $m$ и находящейся на расстоянии $P_1Q_1$ от нее. Вершина $D$ определяется пересечением прямой $n$ и луча, выходящего из $A$ под углом $\angle hk$ к прямой $m$. Зная положения трех вершин $A, B, D$, можно однозначно определить положение четвертой вершины $C$. Это позволяет сформулировать следующий алгоритм построения.

Построение

Для построения искомого параллелограмма с помощью циркуля и линейки выполним следующие шаги:

1. Проведем произвольную прямую $m$. На этой прямой будут располагаться вершины $A$ и $B$ параллелограмма.
2. Построим прямую $n$, параллельную прямой $m$ и отстоящую от нее на расстояние, равное длине отрезка $P_1Q_1$. Для этого:
   1. Выберем на прямой $m$ произвольную точку $K$.
   2. Проведем через точку $K$ прямую $p$, перпендикулярную прямой $m$.
   3. С помощью циркуля отмерим длину отрезка $P_1Q_1$ и отложим на прямой $p$ от точки $K$ отрезок $KL$ этой длины.
   4. Через точку $L$ проведем прямую $n$, перпендикулярную прямой $p$. По свойству перпендикуляров к одной прямой, $n$ будет параллельна $m$. На этой прямой будут располагаться вершины $D$ и $C$.
3. На прямой $m$ выберем произвольную точку и обозначим ее $A$. Это будет первая вершина искомого параллелограмма.
4. В точке $A$ построим угол, равный данному углу $\angle hk$. Одна сторона угла должна лежать на прямой $m$. Так как угол $\angle hk$ острый, другая сторона угла обязательно пересечет параллельную прямую $n$. Точку пересечения обозначим $D$. Это будет вторая вершина параллелограмма.
5. На луче, который является стороной построенного угла и лежит на прямой $m$, отложим от точки $A$ отрезок $AB$, длина которого равна длине отрезка $P_2Q_2$. Точка $B$ — третья вершина параллелограмма.
6. Теперь найдем четвертую вершину $C$. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому вектор $\vec{DC}$ должен быть равен вектору $\vec{AB}$. Это значит, что на прямой $n$ от точки $D$ нужно отложить отрезок $DC$, равный по длине отрезку $AB$ ($P_2Q_2$) и направленный в ту же сторону.
7. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

Убедимся, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям, перечисленным в задаче.

• По построению, сторона $AB$ лежит на прямой $m$, а сторона $DC$ — на прямой $n$. Прямые $m$ и $n$ параллельны, и расстояние между ними равно $P_1Q_1$. Следовательно, расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $DC$ равно $P_1Q_1$.
• Длина стороны $AB$ по построению равна длине отрезка $AB = P_2Q_2$.
• Угол $\angle DAB$ (угол при вершине $A$) по построению равен заданному углу $\angle A = \angle hk$.
• По построению отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых $m$ и $n$ и имеют одинаковую длину $P_2Q_2$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Построенный согласно приведенному алгоритму параллелограмм $ABCD$ является искомым решением задачи.