Номер 500, страница 131 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 500, страница 131.

500 Постройте равнобедренную трапецию ABCD:

а) по основанию AD, углу А и боковой стороне AB;

б) по основанию ВС, боковой стороне AB и диагонали BD.

а) по основанию AD, углу A и боковой стороне AB;

Для построения равнобедренной трапеции ABCD по заданным элементам выполним следующие действия:

Анализ и план построения:

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Если дано основание AD и угол A, то нам известен и угол D, так как $\angle D = \angle A$. Таким образом, мы можем построить две стороны трапеции (AB и AD) и угол между ними. Затем, зная угол D, мы можем построить вторую боковую сторону CD, а через вершину B провести прямую, параллельную основанию AD, для нахождения вершины C.

Шаги построения:

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок AD, равный по длине данному основанию.
2. От луча AD в точке A отложим угол, равный данному углу A.
3. На построенной стороне угла отложим отрезок AB, равный по длине данной боковой стороне.
4. Поскольку трапеция равнобедренная, углы при основании AD равны. Поэтому от луча DA в точке D построим угол, равный углу A, в той же полуплоскости относительно прямой AD, где лежит точка B.
5. Через точку B проведем прямую, параллельную прямой AD.
6. Точка пересечения этой прямой и стороны угла D (построенного в шаге 4) и будет искомой вершиной C.
7. Соединим точки A, B, C и D. Полученный четырехугольник ABCD является искомой трапецией.

Доказательство:

В построенном четырехугольнике ABCD сторона AD, боковая сторона AB и угол A равны заданным по построению. Прямая BC параллельна AD по построению (шаг 5), следовательно, ABCD — трапеция. Углы при основании равны, так как $\angle D$ был построен равным $\angle A$ (шаг 4). Трапеция с равными углами при основании является равнобедренной. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет однозначно построить искомую равнобедренную трапецию.

б) по основанию BC, боковой стороне AB и диагонали BD.

Для построения равнобедренной трапеции ABCD по заданным элементам выполним следующие действия:

Анализ и план построения:

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, то есть $AB = CD$. Следовательно, если нам даны основание BC, боковая сторона AB и диагональ BD, то мы знаем длины всех трех сторон треугольника BCD (BC, BD и CD = AB). Мы можем построить этот треугольник. После этого, зная, что второе основание AD параллельно BC, мы можем найти положение четвертой вершины A.

Шаги построения:

1. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок BC, равный по длине данному основанию.
2. Построим треугольник BCD. Из центра в точке B проведем дугу окружности с радиусом, равным длине данной диагонали BD.
3. Из центра в точке C проведем дугу окружности с радиусом, равным длине данной боковой стороны AB (поскольку в равнобедренной трапеции $CD = AB$).
4. Точка пересечения этих двух дуг является вершиной D. (Построение возможно, если длины BC, AB, BD удовлетворяют неравенству треугольника).
5. Основания трапеции параллельны, поэтому проведем через точку D прямую, параллельную прямой BC. На этой прямой будет лежать вершина A.
6. Из центра в точке B проведем дугу окружности с радиусом, равным длине данной боковой стороны AB.
7. Точка пересечения прямой из шага 5 и дуги из шага 6 является искомой вершиной A. (Из двух возможных точек пересечения выбираем ту, которая образует выпуклый четырехугольник ABCD).
8. Соединим точки A, B, C и D. Полученный четырехугольник ABCD является искомой трапецией.

Доказательство:

В построенном четырехугольнике ABCD сторона BC, боковая сторона AB и диагональ BD равны заданным по построению. Прямая AD параллельна BC по построению (шаг 5), следовательно, ABCD — трапеция. Боковая сторона CD была построена равной AB (шаг 3). Так как боковые стороны трапеции равны, она является равнобедренной. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет однозначно построить искомую равнобедренную трапецию.