Номер 495, страница 129 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 495, страница 129.

495 Основания прямоугольной трапеции равны a и b, один из углов равен α. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а = 4 см, b = 7 см, α = 60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если a = 10 см, b = 15 см, α = 45°.

Рассмотрим прямоугольную трапецию, у которой основания равны $a$ и $b$, а один из углов равен $\alpha$. В условии задачи даны конкретные значения, из которых следует, что $b > a$, поэтому $a$ — это меньшее основание, а $b$ — большее. В прямоугольной трапеции два угла прямые. Данный угол $\alpha$ в обоих случаях является острым ($60°$ и $45°$), следовательно, это угол при большем основании.

У прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям. Эта сторона является меньшей боковой стороной и высотой трапеции $h$. Другая боковая сторона является наклонной и большей.

Для нахождения длин боковых сторон проведем высоту из вершины тупого угла (при меньшем основании) на большее основание. Эта высота разделит трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник.

В полученном прямоугольном треугольнике:

• один катет равен высоте трапеции $h$ (т.е. меньшей боковой стороне);
• второй катет равен разности длин оснований, то есть $b-a$;
• гипотенуза является большей боковой стороной трапеции;
• острый угол при основании равен $\alpha$.

Из тригонометрических соотношений в этом прямоугольном треугольнике можно выразить длины боковых сторон:
Меньшая боковая сторона (высота): $h = (b-a) \cdot \tan(\alpha)$.
Большая боковая сторона (гипотенуза): $c = \frac{b-a}{\cos(\alpha)}$.

а) Найти большую боковую сторону, если $a = 4 \text{ см}$, $b = 7 \text{ см}$, $\alpha = 60°$.
Используем формулу для нахождения большей боковой стороны:
$c = \frac{b-a}{\cos(\alpha)} = \frac{7-4}{\cos(60°)} = \frac{3}{1/2} = 6 \text{ см}$.
Ответ: 6 см.

б) Найти меньшую боковую сторону, если $a = 10 \text{ см}$, $b = 15 \text{ см}$, $\alpha = 45°$.
Используем формулу для нахождения меньшей боковой стороны (высоты):
$h = (b-a) \cdot \tan(\alpha) = (15-10) \cdot \tan(45°) = 5 \cdot 1 = 5 \text{ см}$.
Ответ: 5 см.