номер 488 (страница 128) гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев

488 Докажите теорему Фалеса¹: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Решение

Пусть на прямой l₁ отложены равные отрезки А₁A₂, А₂А₃, A₃A₄, ... и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l₂ в точках В₁, В₂, В₃, В₄, ... (рис. 196). Требуется доказать, что отрезки B₁B₂, B₂B₃, B₃B₄, ... равны друг другу.

Докажем, например, что В₁B₂ = В₂В₃.

Рассмотрим сначала случай, когда прямые l₁ и l₂ параллельны (рис. 196, а). Тогда A₁A₂ = B₁B₂ и А₂А₃ = В₂В₃ как противоположные стороны параллелограммов A₁B₁B₂A₂ и А₂В₂В₃А₃. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то и В₁В₂ = В₂В₃.

Если прямые l₁ и l₂ не параллельны, то через точку В₁ проведём прямую l, параллельную прямой l₁ (рис. 196, б). Она пересечёт прямые А₂В₂ и А₃В₃ в некоторых точках С и D. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то по доказанному B₁C = CD. Отсюда получаем: В₁В₂ = В₂В₃ (задача 485). Аналогично можно доказать, что В₂В₃ = В₃В₄ и т. д.