Номер 488, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

488 Докажите теорему Фалеса¹: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Решение

Пусть на прямой l₁ отложены равные отрезки А₁A₂, А₂А₃, A₃A₄, ... и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l₂ в точках В₁, В₂, В₃, В₄, ... (рис. 196). Требуется доказать, что отрезки B₁B₂, B₂B₃, B₃B₄, ... равны друг другу.

Докажем, например, что В₁B₂=В₂В₃.

Рассмотрим сначала случай, когда прямые l₁ и l₂ параллельны (рис. 196, а). Тогда A₁A₂=B₁B₂ и А₂А₃=В₂В₃ как противоположные стороны параллелограммов A₁B₁B₂A₂ и А₂В₂В₃А₃. Так как А₁А₂=А₂А₃, то и В₁В₂=В₂В₃.

Если прямые l₁ и l₂ не параллельны, то через точку В₁ проведём прямую l, параллельную прямой l₁ (рис. 196, б). Она пересечёт прямые А₂В₂ и А₃В₃ в некоторых точках С и D. Так как А₁А₂=А₂А₃, то по доказанному B₁C=CD. Отсюда получаем: В₁В₂ = В₂В₃ (задача 485). Аналогично можно доказать, что В₂В₃=В₃В₄ и т. д.

Для доказательства теоремы Фалеса необходимо показать, что если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Доказательство достаточно провести для двух соседних равных отрезков на первой прямой и соответствующих им отрезков на второй.
Дано: прямые $l_1$ и $l_2$; точки $A_1, A_2, A_3$ на $l_1$ таковы, что $A_1A_2 = A_2A_3$; прямые $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$ параллельны ($A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3$); точки $B_1, B_2, B_3$ лежат на прямой $l_2$.
Доказать: $B_1B_2 = B_2B_3$.
Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения прямых $l_1$ и $l_2$.

а) Случай, когда прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны ($l_1 \parallel l_2$), как показано на рис. 196, а.

Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2B_2B_1$. По условию теоремы, прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $A_2B_2$. По предположению данного случая, прямая $l_1$ (содержащая отрезок $A_1A_2$) параллельна прямой $l_2$ (содержащей отрезок $B_1B_2$). Поскольку у четырехугольника $A_1A_2B_2B_1$ противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, следовательно, $A_1A_2 = B_1B_2$.

Аналогично, рассмотрим четырехугольник $A_2A_3B_3B_2$. В нем $A_2B_2 \parallel A_3B_3$ (по условию) и $A_2A_3 \parallel B_2B_3$ (так как $l_1 \parallel l_2$). Следовательно, $A_2A_3B_3B_2$ — это также параллелограмм, и его противолежащие стороны равны: $A_2A_3 = B_2B_3$.

Так как по условию $A_1A_2 = A_2A_3$, то из полученных равенств $A_1A_2 = B_1B_2$ и $A_2A_3 = B_2B_3$ следует, что $B_1B_2 = B_2B_3$. Утверждение для данного случая доказано.

Ответ: Для случая параллельных прямых доказано, что $B_1B_2 = B_2B_3$.

б) Случай, когда прямые $l_1$ и $l_2$ не параллельны, как показано на рис. 196, б.

Проведем через точку $B_1$ вспомогательную прямую $l$, параллельную прямой $l_1$. Пусть эта прямая пересекает прямые $A_2B_2$ и $A_3B_3$ в точках $C$ и $D$ соответственно.

Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2CB_1$. Его сторона $A_1A_2$ лежит на прямой $l_1$, а сторона $B_1C$ — на прямой $l$. По построению $l \parallel l_1$, значит $A_1A_2 \parallel B_1C$. Стороны $A_1B_1$ и $A_2C$ (являющаяся частью прямой $A_2B_2$) параллельны по условию теоремы. Следовательно, $A_1A_2CB_1$ — параллелограмм, из чего следует равенство противолежащих сторон: $A_1A_2 = B_1C$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $A_2A_3DC$. Его стороны $A_2A_3$ и $CD$ параллельны, так как лежат на параллельных прямых $l_1$ и $l$. Стороны $A_2C$ и $A_3D$ (часть прямой $A_3B_3$) параллельны по условию ($A_2B_2 \parallel A_3B_3$). Значит, $A_2A_3DC$ — также параллелограмм, и $A_2A_3 = CD$.

Из условия $A_1A_2 = A_2A_3$ и полученных нами равенств $A_1A_2 = B_1C$ и $A_2A_3 = CD$ вытекает, что $B_1C = CD$.

Далее рассмотрим треугольник $\triangle B_1B_3D$. Прямая $CB_2$ пересекает его стороны $B_1D$ и $B_1B_3$. Так как прямая $A_2B_2$ (содержащая отрезок $CB_2$) параллельна прямой $A_3B_3$ (содержащей отрезок $DB_3$), то и $CB_2 \parallel DB_3$. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса), прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от них пропорциональные отрезки:

$\frac{B_1C}{B_1D} = \frac{B_1B_2}{B_1B_3}$

Поскольку мы установили, что $B_1C = CD$, то длина отрезка $B_1D$ равна $B_1C + CD = 2 \cdot B_1C$. Подставим это выражение в пропорцию:

$\frac{B_1C}{2 \cdot B_1C} = \frac{B_1B_2}{B_1B_3}$

Сократив $B_1C$, получаем $\frac{1}{2} = \frac{B_1B_2}{B_1B_3}$, откуда следует, что $B_1B_3 = 2 \cdot B_1B_2$.

Так как точка $B_2$ лежит на отрезке $B_1B_3$, то $B_1B_3 = B_1B_2 + B_2B_3$. Подставим это в предыдущее равенство:

$B_1B_2 + B_2B_3 = 2 \cdot B_1B_2$

Вычитая $B_1B_2$ из обеих частей равенства, приходим к выводу, что $B_2B_3 = B_1B_2$. Утверждение теоремы доказано и для этого случая.

Ответ: Для случая непараллельных прямых доказано, что $B_1B_2 = B_2B_3$.