Номер 487, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция - номер 487, страница 128.

Условие.

487 Диагональ равнобедренной трапеции равна a. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон равнобедренной трапеции.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC – основания, AB и CD – боковые стороны. Пусть K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Требуется найти периметр четырехугольника KLMN.

По условию, диагональ трапеции равна $a$. Так как трапеция равнобедренная, ее диагонали равны, то есть $AC = BD = a$.

Рассмотрим четырехугольник KLMN. Его стороны являются средними линиями соответствующих треугольников, образованных сторонами и диагоналями трапеции.

1. Сторона KL. В треугольнике ABC отрезок KL соединяет середины сторон AB и BC. Следовательно, KL является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии:
$KL = \frac{1}{2} AC$

2. Сторона LM. В треугольнике BCD отрезок LM соединяет середины сторон BC и CD. Следовательно, LM является средней линией треугольника BCD. По свойству средней линии:
$LM = \frac{1}{2} BD$

3. Сторона MN. В треугольнике CDA отрезок MN соединяет середины сторон CD и DA. Следовательно, MN является средней линией треугольника CDA. По свойству средней линии:
$MN = \frac{1}{2} AC$

4. Сторона NK. В треугольнике DAB отрезок NK соединяет середины сторон DA и AB. Следовательно, NK является средней линией треугольника DAB. По свойству средней линии:
$NK = \frac{1}{2} BD$

Периметр четырехугольника KLMN равен сумме длин всех его сторон:
$P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK$

Подставим выражения для длин сторон, которые мы нашли:
$P_{KLMN} = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD$

Сгруппируем слагаемые:
$P_{KLMN} = (\frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AC) + (\frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} BD) = AC + BD$

Мы знаем, что по условию диагонали равны $a$: $AC = a$ и $BD = a$. Подставим эти значения в формулу для периметра:
$P_{KLMN} = a + a = 2a$

Примечание: Четырехугольник, образованный серединами сторон любого четырехугольника, является параллелограммом (теорема Вариньона). Так как в нашем случае диагонали исходной трапеции равны ($AC=BD$), то все стороны полученного параллелограмма KLMN равны ($KL=LM=MN=NK=\frac{a}{2}$), следовательно, KLMN является ромбом.

Ответ: $2a$.