Номер 487, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 487, страница 128.

487 Диагональ равнобедренной трапеции равна a. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон равнобедренной трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC – основания, AB и CD – боковые стороны. Пусть K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Требуется найти периметр четырехугольника KLMN.

По условию, диагональ трапеции равна $a$. Так как трапеция равнобедренная, ее диагонали равны, то есть $AC = BD = a$.

Рассмотрим четырехугольник KLMN. Его стороны являются средними линиями соответствующих треугольников, образованных сторонами и диагоналями трапеции.

1. Сторона KL. В треугольнике ABC отрезок KL соединяет середины сторон AB и BC. Следовательно, KL является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии:
$KL = \frac{1}{2} AC$

2. Сторона LM. В треугольнике BCD отрезок LM соединяет середины сторон BC и CD. Следовательно, LM является средней линией треугольника BCD. По свойству средней линии:
$LM = \frac{1}{2} BD$

3. Сторона MN. В треугольнике CDA отрезок MN соединяет середины сторон CD и DA. Следовательно, MN является средней линией треугольника CDA. По свойству средней линии:
$MN = \frac{1}{2} AC$

4. Сторона NK. В треугольнике DAB отрезок NK соединяет середины сторон DA и AB. Следовательно, NK является средней линией треугольника DAB. По свойству средней линии:
$NK = \frac{1}{2} BD$

Периметр четырехугольника KLMN равен сумме длин всех его сторон:
$P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK$

Подставим выражения для длин сторон, которые мы нашли:
$P_{KLMN} = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD$

Сгруппируем слагаемые:
$P_{KLMN} = (\frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} AC) + (\frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} BD) = AC + BD$

Мы знаем, что по условию диагонали равны $a$: $AC = a$ и $BD = a$. Подставим эти значения в формулу для периметра:
$P_{KLMN} = a + a = 2a$

Примечание: Четырехугольник, образованный серединами сторон любого четырехугольника, является параллелограммом (теорема Вариньона). Так как в нашем случае диагонали исходной трапеции равны ($AC=BD$), то все стороны полученного параллелограмма KLMN равны ($KL=LM=MN=NK=\frac{a}{2}$), следовательно, KLMN является ромбом.

Ответ: $2a$.