Номер 482, страница 128 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 482, страница 128.

482 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОB, ОС и OD, — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим диагонали четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$. Это отрезки $A_1C_1$ и $B_1D_1$.

По условию задачи, $ABCD$ — параллелограмм, и его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По основному свойству диагоналей параллелограмма, они делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, мы имеем равенства:

$OA = OC$

$OB = OD$

По условию, точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ являются серединами отрезков $OA, OB, OC$ и $OD$ соответственно. Рассмотрим диагональ $A_1C_1$.

Поскольку $A_1$ — середина отрезка $OA$, то $OA_1 = \frac{1}{2}OA$.

Поскольку $C_1$ — середина отрезка $OC$, то $OC_1 = \frac{1}{2}OC$.

Так как $OA = OC$, то и их половины равны: $OA_1 = OC_1$. Точки $A_1, O, C_1$ лежат на одной прямой (прямой $AC$), поэтому точка $O$ является серединой диагонали $A_1C_1$.

Теперь рассмотрим вторую диагональ $B_1D_1$.

Поскольку $B_1$ — середина отрезка $OB$, то $OB_1 = \frac{1}{2}OB$.

Поскольку $D_1$ — середина отрезка $OD$, то $OD_1 = \frac{1}{2}OD$.

Так как $OB = OD$, то и их половины равны: $OB_1 = OD_1$. Точки $B_1, O, D_1$ лежат на одной прямой (прямой $BD$), поэтому точка $O$ является серединой диагонали $B_1D_1$.

Таким образом, мы доказали, что диагонали четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ ($A_1C_1$ и $B_1D_1$) пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.