Номер 475, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 475, страница 127.

475 Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

Пусть дан параллелограмм, у которого две смежные стороны равны $a$ и $b$. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

Пусть биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$.

Так как $AK$ является биссектрисой угла $A$, то $\angle BAK = \angle DAK$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $AK$ является секущей при этих параллельных прямых. Накрест лежащие углы при секущей равны, следовательно, $\angle BKA = \angle DAK$.

Из двух полученных равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$. Это свойство равнобедренного треугольника, значит, треугольник $ABK$ — равнобедренный с основанием $AK$. Отсюда следует равенство боковых сторон: $AB = BK$.

По условию задачи, биссектриса делит сторону на отрезки 7 см и 14 см. Это значит, что длина всей этой стороны составляет $7 + 14 = 21$ см. Смежная с ней сторона, как мы доказали, равна одному из этих отрезков. В связи с этим возможны два случая.

Случай 1

Одна из сторон параллелограмма равна $21$ см, а смежная с ней сторона равна меньшему из отрезков, то есть $7$ см.

В этом случае стороны параллелограмма $a = 7$ см и $b = 21$ см.

Периметр равен: $P_1 = 2(7 + 21) = 2 \times 28 = 56$ см.

Случай 2

Одна из сторон параллелограмма равна $21$ см, а смежная с ней сторона равна большему из отрезков, то есть $14$ см.

В этом случае стороны параллелограмма $a = 14$ см и $b = 21$ см.

Периметр равен: $P_2 = 2(14 + 21) = 2 \times 35 = 70$ см.

Оба случая являются решением задачи.

Ответ: 56 см или 70 см.