Номер 474, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 474, страница 127.

474 Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке K. Найдите периметр этого параллелограмма, если BK = 15 см, KC = 9 см.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AK$ — биссектриса угла $A$, $K \in BC$.
$BK = 15$ см, $KC = 9$ см.

1. Найдем длину стороны $BC$. Точка $K$ делит сторону $BC$ на два отрезка, поэтому длина всей стороны равна их сумме:
$BC = BK + KC = 15 + 9 = 24$ см.

2. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$.
Рассмотрим параллельные прямые $BC$ и $AD$ и секущую $AK$. Углы $\angle BKA$ и $\angle KAD$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle BKA = \angle KAD$.

3. По условию, $AK$ — биссектриса угла $A$. Это значит, что она делит угол $A$ на два равных угла:
$\angle BAK = \angle KAD$.

4. Сопоставив равенства из пунктов 2 и 3, получаем:
$\angle BKA = \angle KAD$ и $\angle BAK = \angle KAD$, следовательно, $\angle BKA = \angle BAK$.

5. Рассмотрим треугольник $ABK$. Поскольку два его угла равны ($\angle BKA = \angle BAK$), он является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит, $AB = BK$.
Так как по условию $BK = 15$ см, то и сторона $AB = 15$ см.

6. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон. Мы нашли длины сторон $AB$ и $BC$:
$P_{ABCD} = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (15 + 24) = 2 \cdot 39 = 78$ см.

Ответ: 78 см.