Номер 481, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 481, страница 127.

481 На рисунке 194 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы О₁А и О₂В равны. Стержень AB, длина которого равна расстоянию O₁O₂ между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки AB и O₁O₂ либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Рассмотрим четырехугольник, образованный центрами колес $O_1$, $O_2$ и точками крепления стержня $A$ и $B$. Обозначим этот четырехугольник $ABO_2O_1$.

Исходя из условий задачи, мы можем определить длины сторон этого четырехугольника:

• Стороны $O_1A$ и $O_2B$ являются радиусами двух одинаковых колес. Следовательно, их длины равны: $O_1A = O_2B$.
• Длина стержня $AB$ по условию равна расстоянию между центрами колес: $AB = O_1O_2$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABO_2O_1$ противолежащие стороны попарно равны ($AB = O_1O_2$ и $O_1A = O_2B$).

Согласно признаку параллелограмма, если у четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Рассмотрим два возможных варианта:

1. Если точки $A$, $B$, $O_1$ и $O_2$ не лежат на одной прямой, то они образуют невырожденный параллелограмм $ABO_2O_1$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $AB \parallel O_1O_2$.

2. Если точки $A$, $B$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой, то это вырожденный случай параллелограмма. В этом случае отрезки $AB$ и $O_1O_2$, являясь частями одной прямой, лежат на этой прямой. Такое положение возможно, когда стержень занимает крайние положения (например, когда радиусы $O_1A$ и $O_2B$ лежат на линии центров $O_1O_2$).

Таким образом, в любом возможном положении механизма отрезки $AB$ и $O_1O_2$ либо параллельны, либо лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство строится на рассмотрении четырехугольника $ABO_2O_1$. По условию задачи $AB = O_1O_2$, а также $O_1A = O_2B$, так как это радиусы одинаковых колес. Поскольку в четырехугольнике $ABO_2O_1$ противолежащие стороны попарно равны, он является параллелограммом. Если точки $A, B, O_1, O_2$ не лежат на одной прямой (невырожденный случай), то из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel O_1O_2$. Если же точки лежат на одной прямой (вырожденный случай), то и отрезки $AB$ и $O_1O_2$ лежат на одной прямой.