Номер 478, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 478, страница 127.

478 Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Решение

Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 188) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую AB. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой AB, так как AB || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой AB. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой AB. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ.

Решение

Для доказательства воспользуемся определением выпуклого многоугольника: многоугольник является выпуклым, если он целиком лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

Рассмотрим произвольный параллелограмм $ABCD$. Докажем, что он удовлетворяет этому условию для каждой из своих сторон.

1. Проведём прямую через одну из сторон параллелограмма, например, через сторону $AB$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны, следовательно, сторона $CD$ параллельна стороне $AB$. Это можно записать как $AB \parallel CD$.

2. Поскольку прямая, содержащая отрезок $CD$, параллельна прямой, содержащей отрезок $AB$, то отрезок $CD$ не пересекает прямую $AB$ и полностью находится на одном расстоянии от неё. Это означает, что весь отрезок $CD$ (включая его концы — вершины $C$ и $D$) лежит в одной из двух полуплоскостей, на которые прямая $AB$ делит плоскость.

3. Теперь рассмотрим стороны $BC$ и $AD$. Вершина $C$ и вершина $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Отрезок $BC$ соединяет точку $B$ (лежащую на прямой) с точкой $C$ (лежащей в одной из полуплоскостей). Следовательно, весь отрезок $BC$ (кроме точки $B$) лежит в той же полуплоскости. Аналогично, отрезок $AD$ соединяет точку $A$ (на прямой) с точкой $D$ (в той же полуплоскости), поэтому он также лежит в этой полуплоскости.

4. Таким образом, мы показали, что все вершины и стороны параллелограмма $ABCD$ (за исключением стороны $AB$, которая лежит на самой прямой) находятся по одну сторону от прямой, проходящей через сторону $AB$.

5. Эти же рассуждения справедливы для любой другой стороны параллелограмма. Если мы проведём прямую через сторону $BC$, то, так как $AD \parallel BC$, весь параллелограмм будет лежать по одну сторону от этой прямой. То же самое верно для прямых, проходящих через стороны $CD$ и $DA$.

Поскольку параллелограмм $ABCD$ лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону, по определению он является выпуклым четырёхугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником, так как по определению параллелограмма его противолежащие стороны параллельны, а это гарантирует, что фигура целиком лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую из его сторон.