Номер 479, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 479, страница 127.

479 Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВK и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник $BMDK$ является параллелограммом, достаточно показать, что одна пара его противоположных сторон одновременно и равна, и параллельна. Докажем, что стороны $BK$ и $DM$ удовлетворяют этому условию.

1. Параллельность сторон $BK$ и $DM$.

По условию задачи, отрезки $BK$ и $DM$ являются перпендикулярами, проведёнными к одной и той же прямой $AC$. Таким образом, $BK \perp AC$ и $DM \perp AC$. Согласно свойству геометрии, две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Отсюда следует, что $BK \parallel DM$.

2. Равенство сторон $BK$ и $DM$.

Рассмотрим треугольники $\Delta ABK$ и $\Delta CDM$.

- Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны равны: $AB = CD$.
- Противолежащие стороны параллелограмма также параллельны: $AB \parallel CD$. Прямая $AC$ является для них секущей, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle BAC = \angle DCA$ (или $\angle BAK = \angle DCM$).
- По построению, $BK \perp AC$ и $DM \perp AC$, следовательно, треугольники $\Delta ABK$ и $\Delta CDM$ являются прямоугольными с прямыми углами $\angle BKA = 90^\circ$ и $\angle DMC = 90^\circ$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\Delta ABK$ и $\Delta CDM$ равны по гипотенузе ($AB = CD$) и острому углу ($\angle BAK = \angle DCM$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $BK = DM$.

Заключение.

Мы установили, что в четырёхугольнике $BMDK$ противолежащие стороны $BK$ и $DM$ параллельны ($BK \parallel DM$) и равны ($BK = DM$). По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник $BMDK$ — параллелограмм.

Ответ: Четырёхугольник $BMDK$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.