Номер 480, страница 127 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 480, страница 127.

480 На сторонах AB, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Доказательство, что ABCD — параллелограмм.
Рассмотрим противоположные стороны четырехугольника $ABCD$. Длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MB$, то есть $AB = AM + MB$. Длина стороны $CD$ равна сумме длин отрезков $CP$ и $PD$, то есть $CD = CP + PD$. По условию задачи $AM = CP$ и $BM = DP$. Сложим эти два равенства почленно: $AM + BM = CP + DP$. Отсюда следует, что $AB = CD$.
Аналогично рассмотрим другую пару противоположных сторон, $BC$ и $DA$. Длина стороны $BC$ равна $BN + NC$. Длина стороны $DA$ равна $DQ + QA$. По условию задачи $BN = DQ$ и $NC = QA$. Сложим эти равенства: $BN + NC = DQ + QA$. Отсюда следует, что $BC = DA$.
Так как в четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно равны ($AB = CD$ и $BC = DA$), то по признаку параллелограмма $ABCD$ является параллелограммом.
Ответ: Доказано, что $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство, что MNPQ — параллелограмм.
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, как доказано выше, его противоположные углы равны: $?A = ?C$ и $?B = ?D$.
Рассмотрим треугольники $?AMQ$ и $?CPN$. В них:

• $AM = CP$ (по условию).
• $AQ = NC$ (из условия $NC = QA$).
• $?A = ?C$ (как противоположные углы параллелограмма $ABCD$).

Следовательно, $?AMQ \cong ?CPN$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $MQ = PN$.
Теперь рассмотрим треугольники $?BMN$ и $?DPQ$. В них:

• $BM = DP$ (по условию).
• $BN = DQ$ (по условию).
• $?B = ?D$ (как противоположные углы параллелограмма $ABCD$).

Следовательно, $?BMN \cong ?DPQ$ также по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует равенство их соответствующих сторон: $MN = PQ$.
В четырехугольнике $MNPQ$ противоположные стороны попарно равны ($MQ = PN$ и $MN = PQ$). Следовательно, по признаку параллелограмма, $MNPQ$ является параллелограммом.
Ответ: Доказано, что $MNPQ$ — параллелограмм.