Номер 489, страница 129 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 489, страница 129.

489 Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. По определению трапеции её основания параллельны: $AD \parallel BC$. Пусть M — середина боковой стороны AB, а N — середина боковой стороны CD. Отрезок MN является средней линией трапеции.

Для доказательства свойства средней линии выполним дополнительное построение. Проведём прямую через вершину B и точку N до её пересечения с продолжением прямой AD. Точку пересечения обозначим как K.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle KDN$. В этих треугольниках:$CN = ND$ (так как N — середина стороны CD по условию);$\angle BNC = \angle KND$ (как вертикальные углы);$\angle BCN = \angle KDN$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AK и секущей CD).Следовательно, треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle KDN$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $BC = KD$ и $BN = NK$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Точка M является серединой стороны AB по условию. Точка N является серединой стороны BK, поскольку мы доказали, что $BN = NK$. Таким образом, отрезок MN является средней линией треугольника $\triangle ABK$.

Используя свойство средней линии треугольника, докажем обе части теоремы.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Для треугольника $\triangle ABK$ это означает, что $MN \parallel AK$. Так как прямая AK содержит основание AD, то $MN \parallel AD$. Поскольку по определению трапеции $AD \parallel BC$, то и $MN \parallel BC$. Таким образом, доказано, что средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Средняя линия трапеции равна их полусумме

По тому же свойству средней линии треугольника, её длина равна половине третьей стороны. Для треугольника $\triangle ABK$ это означает, что $MN = \frac{1}{2}AK$. Длина отрезка AK складывается из длин отрезков AD и DK: $AK = AD + DK$. Ранее из равенства треугольников мы установили, что $DK = BC$. Заменив DK на BC, получаем: $AK = AD + BC$. Подставим это выражение в формулу для длины MN:$MN = \frac{1}{2}(AD + BC)$или$MN = \frac{AD + BC}{2}$.Таким образом, доказано, что длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований.

Ответ: Свойство доказано. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.