Номер 491, страница 129 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 491, страница 129.

491 Докажите свойства равнобедренной трапеции: а) в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны; б) в равнобедренной трапеции диагонали равны.

а) Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где боковые стороны $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$).
Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как $BC \parallel AD$, то $BH = CK$ как расстояния между параллельными прямыми.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.
В этих треугольниках:
1. Гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $CD$ по определению равнобедренной трапеции.
2. Катет $BH$ равен катету $CK$ как высоты трапеции.
Следовательно, $\triangle ABH = \triangle DCK$ по гипотенузе и катету.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, то есть $\angle A = \angle D$.
Теперь докажем равенство углов при верхнем основании. Так как $BC \parallel AD$, а $AB$ и $CD$ — секущие, то суммы углов, прилежащих к боковым сторонам, равны $180^\circ$:
$\angle A + \angle B = 180^\circ$
$\angle D + \angle C = 180^\circ$
Поскольку мы доказали, что $\angle A = \angle D$, из этих равенств следует, что $\angle B = 180^\circ - \angle A$ и $\angle C = 180^\circ - \angle D$, а значит, $\angle B = \angle C$.
Таким образом, в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим ту же равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Проведем диагонали $AC$ и $BD$.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.
В этих треугольниках:
1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ по определению равнобедренной трапеции.
2. Сторона $AD$ является общей.
3. Угол $\angle A$ равен углу $\angle D$, как доказано в пункте а).
Следовательно, $\triangle ABD = \triangle DCA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $BD$ треугольника $\triangle ABD$ соответствует стороне $AC$ треугольника $\triangle DCA$.
Таким образом, $AC = BD$.
Ответ: Что и требовалось доказать.