Номер 492, страница 129 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция - номер 492, страница 129.

Условие.

492 Докажите признаки равнобедренной трапеции. Трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

а) Докажем, что если углы при основании трапеции равны, то она является равнобедренной.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$), у которой углы при основании $AD$ равны, то есть $\angle A = \angle D$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как $AD \parallel BC$, то расстояние между этими параллельными прямыми постоянно, следовательно, высоты равны: $BH = CK$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

В этих треугольниках:

• $\angle BAH = \angle CDK$ (или $\angle A = \angle D$) по условию.
• $BH = CK$ как высоты трапеции.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по катету и противолежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = CD$.

По определению, трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной. Таким образом, трапеция $ABCD$ — равнобедренная.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что если диагонали трапеции равны, то она является равнобедренной.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$), у которой диагонали равны: $AC = BD$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Как и в предыдущем пункте, $BH = CK$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ACK$ и $\triangle DBH$.

В этих треугольниках:

• Гипотенуза $AC$ равна гипотенузе $BD$ по условию.
• Катет $CK$ равен катету $BH$ как высоты трапеции.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ACK$ и $\triangle DBH$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства этих треугольников следует равенство их вторых катетов: $AK = DH$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC$.

Отрезок $AK$ можно представить как $AK = AH + HK$.

Отрезок $DH$ можно представить как $DH = DK + HK$.

Поскольку $AK = DH$, мы имеем $AH + HK = DK + HK$, откуда следует, что $AH = DK$.

(Примечание: если один из углов при основании тупой, например $\angle A$, то точка $H$ будет лежать на продолжении стороны $AD$ за точку $A$. Тогда $AK=HK-AH$. Но в этом случае угол $\angle D$ должен быть острым, и доказательство остается верным с небольшими изменениями в записи длин отрезков, приводя к тому же результату $AH=DK$).

Снова рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

В этих треугольниках:

• Катет $AH$ равен катету $DK$ (что было доказано выше).
• Катет $BH$ равен катету $CK$ (как высоты трапеции).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = CD$.

Таким образом, трапеция $ABCD$ является равнобедренной.

Ответ: Что и требовалось доказать.