Номер 492, страница 129 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллелограмм и трапеция. 50. Трапеция. Глава 6. Четырехугольники - номер 492, страница 129.

492 Докажите признаки равнобедренной трапеции. Трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

а) Докажем, что если углы при основании трапеции равны, то она является равнобедренной.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$), у которой углы при основании $AD$ равны, то есть $\angle A = \angle D$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Так как $AD \parallel BC$, то расстояние между этими параллельными прямыми постоянно, следовательно, высоты равны: $BH = CK$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

В этих треугольниках:

• $\angle BAH = \angle CDK$ (или $\angle A = \angle D$) по условию.
• $BH = CK$ как высоты трапеции.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по катету и противолежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = CD$.

По определению, трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной. Таким образом, трапеция $ABCD$ — равнобедренная.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что если диагонали трапеции равны, то она является равнобедренной.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$), у которой диагонали равны: $AC = BD$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$. Как и в предыдущем пункте, $BH = CK$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ACK$ и $\triangle DBH$.

В этих треугольниках:

• Гипотенуза $AC$ равна гипотенузе $BD$ по условию.
• Катет $CK$ равен катету $BH$ как высоты трапеции.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ACK$ и $\triangle DBH$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства этих треугольников следует равенство их вторых катетов: $AK = DH$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC$.

Отрезок $AK$ можно представить как $AK = AH + HK$.

Отрезок $DH$ можно представить как $DH = DK + HK$.

Поскольку $AK = DH$, мы имеем $AH + HK = DK + HK$, откуда следует, что $AH = DK$.

(Примечание: если один из углов при основании тупой, например $\angle A$, то точка $H$ будет лежать на продолжении стороны $AD$ за точку $A$. Тогда $AK=HK-AH$. Но в этом случае угол $\angle D$ должен быть острым, и доказательство остается верным с небольшими изменениями в записи длин отрезков, приводя к тому же результату $AH=DK$).

Снова рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

В этих треугольниках:

• Катет $AH$ равен катету $DK$ (что было доказано выше).
• Катет $BH$ равен катету $CK$ (как высоты трапеции).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = CD$.

Таким образом, трапеция $ABCD$ является равнобедренной.

Ответ: Что и требовалось доказать.