Номер 511, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 511, страница 135.

511 Докажите признак квадрата. Ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.

Дано:

$ABCD$ — ромб.

$\angle A = 90^\circ$.

Доказать:

$ABCD$ — квадрат.

Доказательство:

1. По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, $AB = BC = CD = DA$.

2. Так как ромб является параллелограммом, он обладает всеми свойствами параллелограмма. В частности, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Рассмотрим углы, прилежащие к стороне $AB$:

$\angle A + \angle B = 180^\circ$

3. По условию $\angle A = 90^\circ$. Подставив это значение в формулу, получим:

$90^\circ + \angle B = 180^\circ$

Отсюда находим $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

4. Также, по свойству параллелограмма, его противолежащие углы равны. Таким образом:

$\angle C = \angle A = 90^\circ$

$\angle D = \angle B = 90^\circ$

5. Мы получили, что в четырехугольнике $ABCD$ все стороны равны (по определению ромба) и все углы равны $90^\circ$ (как было доказано выше). Четырехугольник, у которого все стороны и все углы равны, является квадратом. Следовательно, ромб $ABCD$ является квадратом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом, доказано.