Номер 513, страница 135 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

53. Центральная симметрии. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 513, страница 135.

513 В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.

Пусть дан прямоугольный треугольник, назовём его $ABC$, с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Проведена биссектриса $CL$ этого угла, где $L$ — точка на гипотенузе $AB$. По определению биссектрисы, она делит прямой угол на два равных угла: $\angle ACL = \angle BCL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Через точку $L$ проведены прямые, параллельные катетам. Пусть прямая, параллельная катету $AC$, пересекает катет $BC$ в точке $M$ (то есть $LM \parallel AC$). Пусть прямая, параллельная катету $BC$, пересекает катет $AC$ в точке $K$ (то есть $LK \parallel BC$). Рассмотрим полученный четырёхугольник $CKLM$.

Доказательство:

Сначала докажем, что $CKLM$ — это прямоугольник.По построению, противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны: $LM \parallel AC$ (значит, $LM \parallel CK$) и $LK \parallel BC$ (значит, $LK \parallel CM$). Следовательно, по определению, $CKLM$ является параллелограммом.Угол $\angle KCM$ этого параллелограмма совпадает с прямым углом исходного треугольника, $\angle C = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, $CKLM$ — прямоугольник.

Теперь докажем, что у этого прямоугольника равны смежные стороны.Рассмотрим треугольник $CKL$. Так как $LK \parallel BC$, то внутренние накрест лежащие углы при секущей $CL$ равны: $\angle KLC = \angle BCL$.Поскольку $CL$ — биссектриса, мы знаем, что $\angle BCL = 45^\circ$. Следовательно, $\angle KLC$ также равен $45^\circ$. В то же время, угол $\angle KCL$ по определению биссектрисы тоже равен $45^\circ$.

Так как в треугольнике $CKL$ два угла равны ($\angle KLC = \angle KCL = 45^\circ$), он является равнобедренным. Это означает, что стороны, лежащие против равных углов, равны: $CK = LK$.

Мы установили, что $CKLM$ — это прямоугольник, у которого две смежные стороны ($CK$ и $LK$) равны. По определению, такой прямоугольник является квадратом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Полученный четырёхугольник является квадратом.