Страница 134 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

502 Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

По условию задачи, один из углов параллелограмма является прямым. Допустим, что $\angle A = 90^\circ$.

Для доказательства воспользуемся свойствами углов параллелограмма:

1. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются соседними (прилежащими к стороне $AB$), следовательно, их сумма равна $180^\circ$. $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Подставим известное значение $\angle A$: $90^\circ + \angle B = 180^\circ$. Отсюда находим величину угла $\angle B$: $\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

2. Противоположные углы параллелограмма равны. Угол $\angle C$ противоположен углу $\angle A$, поэтому $\angle C = \angle A = 90^\circ$. Угол $\angle D$ противоположен углу $\angle B$, поэтому $\angle D = \angle B = 90^\circ$.

Таким образом, мы установили, что все углы параллелограмма $ABCD$ равны $90^\circ$: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Поскольку все углы данного параллелограмма являются прямыми, он по определению является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Согласно свойствам параллелограмма, его противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180^\circ$. Если один угол равен $90^\circ$, то и противолежащий ему угол тоже равен $90^\circ$. Два других угла, являющиеся соседними с прямым углом, будут равны $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, все четыре угла параллелограмма прямые, а такой параллелограмм по определению является прямоугольником.

503 Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.

Дано:
Четырёхугольник ABCD, в котором все углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.

Доказать:
Четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Доказательство:

Согласно определению, прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. В условии задачи дано, что все углы четырёхугольника прямые. Следовательно, нам нужно доказать, что этот четырёхугольник является параллелограммом.

Четырёхугольник является параллелограммом, если его противолежащие стороны попарно параллельны. Докажем параллельность сторон $AB$ и $DC$, а также $AD$ и $BC$.

Рассмотрим стороны $AD$ и $BC$ как две прямые, пересеченные секущей $AB$. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются внутренними односторонними углами при этих прямых и секущей. Найдем их сумму: $\angle A + \angle B = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. По признаку параллельности прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Таким образом, $AD \parallel BC$.

Аналогично, рассмотрим стороны $AB$ и $DC$ как две прямые, пересеченные секущей $AD$. Углы $\angle A$ и $\angle D$ являются внутренними односторонними углами. Их сумма также равна: $\angle A + \angle D = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, прямые $AB$ и $DC$ параллельны: $AB \parallel DC$.

Поскольку в четырёхугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$), он является параллелограммом по определению.

Так как $ABCD$ — это параллелограмм, у которого все углы равны $90^\circ$, то по определению он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник с четырьмя прямыми углами является параллелограммом, так как его противолежащие стороны параллельны (сумма внутренних односторонних углов при пересечении их секущей равна $180^\circ$). Параллелограмм, у которого все углы прямые, по определению является прямоугольником.

504 Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.

Пусть в прямоугольнике $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Угол $A$ прямоугольника равен $90^\circ$. Биссектриса $AK$ делит его на два равных угла: $\angle BAK = \angle DAK = 45^\circ$.
Рассмотрим треугольник $ABK$. В нем $\angle B = 90^\circ$ (так как $ABCD$ — прямоугольник) и $\angle BAK = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle BKA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Поскольку в треугольнике $ABK$ два угла равны ($\angle BAK = \angle BKA$), он является равнобедренным. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны: $AB = BK$.
Сторона $BC$ делится точкой $K$ на отрезки $BK$ и $KC$, длины которых равны 45,6 см и 7,85 см. Так как в условии не указано, какой из отрезков больше, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Пусть $BK = 45,6$ см и $KC = 7,85$ см.
Тогда сторона $AB = BK = 45,6$ см.
Сторона $BC$ равна сумме длин отрезков: $BC = BK + KC = 45,6 + 7,85 = 53,45$ см.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — смежные стороны.
$P = 2(AB + BC) = 2(45,6 + 53,45) = 2 \cdot 99,05 = 198,1$ см.

Случай 2: Пусть $BK = 7,85$ см и $KC = 45,6$ см.
Тогда сторона $AB = BK = 7,85$ см.
Сторона $BC$ равна сумме длин отрезков: $BC = BK + KC = 7,85 + 45,6 = 53,45$ см.
$P = 2(AB + BC) = 2(7,85 + 53,45) = 2 \cdot 61,3 = 122,6$ см.

Ответ: 198,1 см или 122,6 см.

Пусть в прямоугольнике $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $DC$ в точке $M$. Угол $A$ прямоугольника равен $90^\circ$. Биссектриса $AM$ делит его на два равных угла: $\angle DAM = \angle BAM = 45^\circ$.
Рассмотрим треугольник $ADM$. В нем $\angle D = 90^\circ$ (так как $ABCD$ — прямоугольник) и $\angle DAM = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle AMD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Поскольку в треугольнике $ADM$ два угла равны ($\angle DAM = \angle AMD$), он является равнобедренным. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны: $AD = DM$.
Сторона $DC$ делится точкой $M$ на отрезки $DM$ и $MC$, длины которых равны 2,7 дм и 4,5 дм. Так как в условии не указано, какой из отрезков прилегает к вершине $D$, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Пусть $DM = 2,7$ дм и $MC = 4,5$ дм.
Тогда сторона $AD = DM = 2,7$ дм.
Сторона $DC$ равна сумме длин отрезков: $DC = DM + MC = 2,7 + 4,5 = 7,2$ дм.
Периметр прямоугольника: $P = 2(AD + DC) = 2(2,7 + 7,2) = 2 \cdot 9,9 = 19,8$ дм.

Случай 2: Пусть $DM = 4,5$ дм и $MC = 2,7$ дм.
Тогда сторона $AD = DM = 4,5$ дм.
Сторона $DC$ равна сумме длин отрезков: $DC = DM + MC = 4,5 + 2,7 = 7,2$ дм.
Периметр прямоугольника: $P = 2(AD + DC) = 2(4,5 + 7,2) = 2 \cdot 11,7 = 23,4$ дм.

Ответ: 19,8 дм или 23,4 дм.

505 Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и AOB равнобедренные.

Для доказательства воспользуемся свойствами диагоналей прямоугольника.

В любом прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть дан прямоугольник ABCD, его диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

1. Свойство равенства диагоналей: $AC = BD$.

2. Свойство деления диагоналей пополам: $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.

Из того, что $AC = BD$, следует, что и их половины равны. Таким образом, все четыре отрезка, соединяющие вершины с точкой пересечения диагоналей, равны между собой:

$AO = BO = CO = OD$

Теперь рассмотрим каждый треугольник отдельно.

Треугольник AOD

Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Две его стороны, AO и OD, являются равными отрезками, как было показано выше ($AO = OD$). Согласно определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle AOD$ — равнобедренный.

Ответ: Треугольник AOD является равнобедренным, так как $AO=OD$.

Треугольник AOB

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Две его стороны, AO и OB, также являются равными отрезками ($AO = OB$). Следовательно, по определению, треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным.

Ответ: Треугольник AOB является равнобедренным, так как $AO=OB$.

506 В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника AOB, если ∠CAD = 30°, АС = 12 см.

По свойствам прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Дано, что $ABCD$ — прямоугольник, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Из этого следует, что $AC = BD = 12$ см, а также $AO = OC = BO = OD$.

Найдем длины отрезков $AO$ и $BO$, которые являются сторонами треугольника $AOB$:

$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

$BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Так как $AO = BO$, треугольник $AOB$ является равнобедренным.

Все углы прямоугольника равны $90^\circ$, поэтому $\angle DAB = 90^\circ$. Этот угол состоит из двух углов: $\angle CAB$ и $\angle CAD$.

По условию $\angle CAD = 30^\circ$. Найдем угол $\angle CAB$:

$\angle CAB = \angle DAB - \angle CAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $AOB$ угол $\angle CAB$ (он же $\angle OAB$) является углом при основании. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно:

$\angle OBA = \angle OAB = 60^\circ$.

Поскольку два угла в треугольнике $AOB$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle AOB$ также равен $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

Так как все углы треугольника $AOB$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны:

$AB = AO = BO = 6$ см.

Периметр треугольника $AOB$ равен сумме длин его сторон:

$P_{AOB} = AO + BO + AB = 6 + 6 + 6 = 18$ см.

Ответ: $18$ см.