Номер 534, страница 138 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Дополнительные задачи - номер 534, страница 138.

Условие.

534 В трапеции ABCD с бо́льшим основанием AD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне CD, ∠BAC = ∠CAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, а ∠D = 60°.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Анализ углов трапеции и свойств треугольника ABC
Поскольку $ABCD$ — трапеция с большим основанием $AD$, то основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Диагональ $AC$ является секущей при этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD$. По условию задачи, $\angle BAC = \angle CAD$. Из этих двух равенств следует, что $\angle BAC = \angle BCA$. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный, и стороны, лежащие против равных углов, равны: $AB = BC$.

2. Анализ свойств прямоугольного треугольника ACD
По условию, диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, из чего следует, что $\angle ACD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ACD$ является прямоугольным. Также дано, что угол при основании $\angle D = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол треугольника $ACD$:
$\angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle D = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

3. Определение вида трапеции и соотношения между ее сторонами
Из шага 1 мы знаем, что $\angle BAC = \angle CAD$, а из шага 2 мы нашли, что $\angle CAD = 30^\circ$. Отсюда следует, что $\angle BAC$ также равен $30^\circ$. Теперь мы можем найти полный угол $A$ трапеции: $\angle A = \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$. В трапеции $ABCD$ углы при основании $AD$ равны: $\angle A = 60^\circ$ и $\angle D = 60^\circ$. Трапеция, у которой углы при основании равны, является равнобедренной. Следовательно, боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$. Сопоставляя это с результатом из шага 1 ($AB = BC$), получаем, что три стороны трапеции равны между собой: $AB = BC = CD$.

4. Расчет длины основания AD через периметр
Обозначим длину равных сторон $AB$, $BC$ и $CD$ через $x$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$. В нем гипотенузой является сторона $AD$, а катетом, прилежащим к углу $D$, — сторона $CD$. Соотношение между ними выражается через косинус: $\cos(\angle D) = \frac{CD}{AD}$ Подставим известные значения: $\cos(60^\circ) = \frac{CD}{AD}$ Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{1}{2} = \frac{CD}{AD}$ Отсюда $AD = 2 \cdot CD$. Поскольку мы обозначили $CD = x$, то $AD = 2x$. Периметр трапеции — это сумма длин всех ее сторон: $P = AB + BC + CD + AD$ Подставим известные значения периметра и выражения для сторон через $x$: $20 = x + x + x + 2x$ $20 = 5x$ $x = \frac{20}{5} = 4$ см. Таким образом, $AB = BC = CD = 4$ см. Требуется найти длину основания $AD$. Мы установили, что $AD = 2x$. $AD = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Ответ: 8 см.