Номер 538, страница 138 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Дополнительные задачи - номер 538, страница 138.

Условие.

538 Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По определению, точка является центром симметрии фигуры, если при повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки фигура переходит сама в себя. Это равносильно тому, что для каждой точки $M$ фигуры симметричная ей относительно центра точка $M'$ также принадлежит этой фигуре.

Докажем, что точка $O$ является центром симметрии параллелограмма $ABCD$.

1. Симметрия вершин.
По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$. Это означает, что точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Таким образом, точка, симметричная вершине $A$ относительно точки $O$, — это вершина $C$. Точка, симметричная вершине $B$ относительно точки $O$, — это вершина $D$. Вершины параллелограмма симметричны друг другу относительно точки $O$.

2. Симметрия точек на сторонах.
Возьмем произвольную точку $M$ на стороне $AB$. Построим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно центра $O$. По определению симметрии, точка $O$ является серединой отрезка $MM'$, то есть $MO = OM'$ и точки $M, O, M'$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COM'$. В них:
- $AO = OC$ (по свойству диагоналей параллелограмма),
- $MO = OM'$ (по построению симметричной точки),
- $\angle AOM = \angle COM'$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOM \cong \triangle COM'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что $\angle OAM = \angle OCM'$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Поскольку стороны параллелограмма $AB$ и $CD$ параллельны, то накрест лежащие углы при них равны. Углы $\angle OAM$ (то же, что и $\angle CAB$) и $\angle OCM'$ (находящийся на прямой, проходящей через $C$ и $M'$) равны. Это означает, что прямая $CM'$ параллельна прямой $AB$.

Так как через точку $C$ можно провести только одну прямую, параллельную $AB$, и этой прямой является сторона $CD$ параллелограмма, то точка $M'$ лежит на прямой $CD$. Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $AB$, то из равенства треугольников $AM = CM'$, а также из равенства сторон $AB = CD$, следует, что точка $M'$ лежит на отрезке $CD$.

Таким образом, для любой точки на стороне $AB$ симметричная ей точка лежит на стороне $CD$. Аналогично можно доказать, что для любой точки на стороне $BC$ симметричная ей точка лежит на стороне $DA$.

Мы показали, что любая точка на границе параллелограмма имеет симметричную ей относительно точки $O$ точку, также лежащую на границе параллелограмма. Это же утверждение верно и для любой внутренней точки фигуры. Следовательно, параллелограмм $ABCD$ симметричен сам себе относительно точки пересечения диагоналей $O$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии, так как по свойству диагоналей она является серединой отрезков, соединяющих противолежащие вершины, а для любой другой точки на одной стороне параллелограмма всегда найдется симметричная ей точка на противолежащей стороне.