Номер 543, страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 1. Площадь многоугольника. 56. Площадь прямоугольника - номер 543, страница 144.

Условие.

543 Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку М, симметричную точке D относительно точки С. Докажите, что S_ABCD = S_AMD.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Точка $M$ симметрична точке $D$ относительно точки $C$. По определению центральной симметрии, точка $C$ является серединой отрезка $DM$. Это означает, что точки $D$, $C$, $M$ лежат на одной прямой и длины отрезков $DC$ и $CM$ равны: $DC = CM$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ можно найти, зная, что диагональ $AC$ делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника: $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$. Следовательно, площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника $ACD$.

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ACD}$

Рассмотрим треугольник $AMD$. Его площадь можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle ACM$, так как отрезок $AC$ является их общей стороной, а вместе они образуют $\triangle AMD$.

$S_{AMD} = S_{ACD} + S_{ACM}$

Теперь сравним площади треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle ACM$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к прямой $DM$, на которой лежат их основания $DC$ и $CM$. Обозначим эту высоту $h_A$. Площадь $\triangle ACD$ равна $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_A$, а площадь $\triangle ACM$ равна $S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot h_A$.

Поскольку по условию симметрии $DC = CM$, то и площади этих треугольников равны: $S_{ACD} = S_{ACM}$.

Подставим это равенство в выражение для площади треугольника $AMD$:

$S_{AMD} = S_{ACD} + S_{ACD} = 2 \cdot S_{ACD}$

Сравнивая полученные выражения для площадей параллелограмма $ABCD$ и треугольника $AMD$:

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ACD}$

$S_{AMD} = 2 \cdot S_{ACD}$

мы видим, что они равны. Следовательно, $S_{ABCD} = S_{AMD}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $S_{ABCD} = S_{AMD}$, доказано.